Lösung mit einer Zahlenfolge
Das Vorgehen analysieren
Ein komplexeres Problem lässt sich manchmal lösen, indem man es zunächst stark vereinfacht und den Komplexitätsgrad dann systematisch erhöht.
Genau diese Strategie haben wir im vorherigen Abschnitt benutzt, um das Begrüßungsproblem zu lösen. Dabei ist eine Zahlenfolge entstanden.
$0; 1; 3; 6; 10; ...$
Aufgabe 1
(a) Erkläre, was die einzelnen Zahlen der Zahlenfolge beschreiben.
(b) Setze die Zahlenfolge weiter fort (um mindestens 3 weitere Folgenglieder). Hierdurch zeigst du, dass du das Bildungsgesetz der Zahlenfolge verstanden hast.
$0; 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; ...$
Die Zahlenfolge mathematisch beschreiben
Wir führen Bezeichnungen für die einzenen Folgenglieder ein.
$a_1; a_2; a_3; a_4; a_5; ...$
Dann müssen wir nicht sagen „Das zweite Folgenglied ist 1“, sondern einfach kurz „$a_2 = 1$“.
Aufgabe 2
(a) In der Gleichung $a_2 = 1$ steht eine der Ziffern für die Anzahl der Begrüßungen, die andere für die Anzahl an Gästen. Ordne zu, was wofür steht. Die Gleichung lässt sich im Kontext deshalb umformulieren zu „Bei einer Party mit ... Gästen gibt es ... Begrüßungen.“ Fülle die beiden Lücken.
(b) Gib die Werte für die einzelnen Folgenglieder an. Ergänze die Auflistung um mindestens 3 Einträge. Formuliere die Gleichungen so um wie in Aufgabenteil (a).
$a_1 = 0$
$a_2 = 1$
...
| Gleichung | Sprechweise | Bedeutung in der Situation |
|---|---|---|
| $a_1 = 0$ | Das 1. Folgenglied beträgt $0$. | Bei einer Party mit einem Gast gibt es null Begrüßungen. |
| $a_2 = 1$ | Das 2. Folgenglied beträgt $1$. | Bei einer Party mit zwei Gästen gibt es eine Begrüßung. |
| $a_3 = 3$ | Das 3. Folgenglied beträgt $3$. | Bei einer Party mit drei Gästen gibt es drei Begrüßungen. |
| $a_4 = 6$ | Das 4. Folgenglied beträgt $6$. | Bei einer Party mit vier Gästen gibt es sechs Begrüßungen. |
| $a_5 = 10$ | Das 5. Folgenglied beträgt $10$. | Bei einer Party mit fünf Gästen gibt es zehn Begrüßungen. |
| ... | ... | ... |
(c) Sicher ist dir auch schon folgende Gesetzmäßigkeit aufgefallen:
...
$a_3 = a_2 + 2$
$a_4 = a_3 + 3$
$a_5 = a_4 + 4$
...
Überprüfe, ob man die Auflistung nach oben und nach unten so fortsetzen kann.
(d) Beschreibe die Gesetzmäßigkeit jetzt allgemein. Ergänze hierzu die Formel für $a_n$.
$a_1 = 0$
$a_2 = a_1 + 1$
$a_3 = a_2 + 2$
$a_4 = a_3 + 3$
$a_5 = a_4 + 4$
...
$a_n =$ ... (für $n = 2, 3, ...$)
Wir ersetzen die konkreten Zahlen durch Variablen. Statt $a_5 = a_4 + 4$ schreiben wir $a_n = ...$ Wir ersetzen also die Zahl $5$ durch die Variable $n$. In derselben Gleichung taucht an zwei Stellen eine $4$ auf. Das ist um 1 kleiner als 5; wir ersetzen daher nun jede $4$ durch den Ausdruck $n-1$.
(e) Erkläre die Formel, indem du folgenden Text ergänzt: Bei einer Party mit $n-1$ Gästen gibt es $a_{n-1}$ Begrüßungen. Wir betrachten nun eine Party mit $n$ Personen. Bevor die letzte Person zur Party kam, waren also ... Personen auf der Party. Bei diesen gibt es $a_{n-1}$ Begrüßungen. Wenn die letzte Person dazu kommt, muss sie noch ... Personen begrüßen. Das ergibt insgesamt die Formel $a_n = $ ...
