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Zusammenfassung - Monotonie von Folgen

Steigende und fallende Folgen

Monotoniebegriffe benutzt man, um steigende bzw. fallende Folgen zu beschreiben. In diesem Abschnitt werden diese Begriffe präzisiert und anhand von Beispielen verdeutlicht.

Streng monoton steigende bzw. streng monoton fallende Folgen

Eine Folge $(a_{n})$ heißt streng monoton steigend genau dann, wenn für alle Folgenglieder die Bedingung $a_{n} < a_{n + 1}$ erfüllt ist.

Beispiele:

Folge	Eigenschaft
	$a_{1} < a_{2} < a_{3} < . . .$
	$a_{1} < a_{2} < a_{3} < . . .$

Eine Folge $(a_{n})$ heißt streng monoton fallend genau dann, wenn für alle Folgenglieder die Bedingung $a_{n} > a_{n + 1}$ erfüllt ist.

Beispiele:

Folge	Eigenschaft
	$a_{1} > a_{2} > a_{3} > . . .$
	$a_{1} > a_{2} > a_{3} > . . .$

Monoton steigende bzw. monoton fallende Folgen

Diese Begriffe beschreiben eine weniger strenge Form von Steigen und Fallen. Aufeinanderfolgende Folgenglieder können auch gleich sein.

Eine Folge $(a_{n})$ heißt monoton steigend genau dann, wenn für alle Folgenglieder die Bedingung $a_{n} \leq a_{n + 1}$ erfüllt ist.

Beispiele:

Folge	Eigenschaft
	$a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq . . .$
	$a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq . . .$
	$a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq . . .$

Eine Folge $(a_{n})$ heißt monoton fallend genau dann, wenn für alle Folgenglieder die Bedingung $a_{n} \geq a_{n + 1}$ erfüllt ist.

Beispiele:

Folge	Eigenschaft
	$a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq . . .$
	$a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq . . .$
	$a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq . . .$

Beachte die Sonderfälle:

Wenn eine Folge streng monoton steigend (bzw. fallend) ist, dann ist sie auch monoton steigend (bzw. fallend).
Eine Folge, bei der alle Folgenglieder gleich sind, ist monoton steigend und auch monoton fallend.

Zusammenfassung - Monotonie von Folgen

Steigende und fallende Folgen

Streng monoton steigende bzw. streng monoton fallende Folgen

Monoton steigende bzw. monoton fallende Folgen

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