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Explizite Darstellung einer Folge

Ein Knobelproblem mit einer Folge bearbeiten

Wir betrachten das Streichholzlegeproblem.

Streichholzfigur

Wie viele Streichhölzer benötigt man für den 10. bzw. 100. Turm?

Zur Bearbeitung des Problems benutzen wir eine Folge. Die Folge $a_1; a_2; a_3; ...$ beschreibt die Anzahl der Streichhölzer, die man für den Turm mit der Nummer $1; 2; 3; ...$ benötigt.

Aufgabe 1

(a) Ergänze die Formel für $a_n$.

$a_1 = 4$
$a_2 = 4 + 3$
$a_3 = 4 + 2\cdot 3$
$a_4 = 4 + 3\cdot 3$
...
$a_n = ...$ für $n = 1; 2; 3; ...$

(b) Benutze die Formel für $a_n$, um das Problem zu lösen.

Aufgabe 2

Die Folge $\left( a_n \right)$ lässt sich auch rekursiv beschreiben. Ergänze hierzu die Formel für $a_n$.

$a_1 = 4$
$a_2 = a_1 + 3$
$a_3 = a_2 + 3$
$a_4 = a_3 + 3$
...
$a_n = ...$ für $n = 2; 3; 4; ...$

Aufgabe 3

(a) Warum ist es günstiger, die in Aufgabe 1 ermittelte Formel zur Berechnung von $a_{100}$ zu benutzen als die in Aufgabe 2? Erläutere kurz.

(b) In Aufgabe 1 wird eine explizite Darstellung der Folge entwickelt. Erläutere kurz, was der Begriff explizit hier bedeutet.

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