Erarbeitung

Die Struktur eines LGS beschreiben

Der Aufwand zum Lösen eines LGS hängt von der Struktur des LGS ab. Die Übersicht zeigt eine Möglichkeit, wie man die zum Lösen relevante Struktur eines LGS beschreiben kann. Wir benutzen dabei folgende Symbole:

• Ein $\ast$ steht hier für eine beliebige Zahl (die auch die Zahl $0$ sein kann).
• Die $0$ für die (gesichert vorliegende) Zahl $0$.

Aufgabe 1

(a) Erläutere, wie die Struktur eines LGS den Aufwand zum Lösen des LGS beeinflusst.

(b) Die Übersicht zeigt auch Alternativen zu den Basisstrukturmustern. Erkläre kurz die Gemeinsamkeiten der verschiedenen Alternativen. Warum stehen hinter den aufgelisteten Alternativen drei Punkt $\dots$?

Aufgabe 2

Das Ziel ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem man auch komplizierte lineare Gleichungssysteme lösen kann. Beurteile die folgende Strategie.

Ein LGS umformen

Wenn man ein LGS umformt, dann darf sich die Lösungsmenge bei der Umformung nicht verändern. Solche Umformungen nennt man Äquivalenzumformungen.

Mit dem folgenden Applet kann man Äquivalenzumformungen bei linearen Gleichungssystemen untersuchen. Das Applet ist mit den vielen Einstellmöglichkeiten recht komplex. Bearbeite die darunter folgenden Aufgaben Schritt für Schritt.

Zum Herunterladen: gauss_tool.ggb

Im Applet ist ein LGS vorgegeben. Belasse es vorerst bei diesem LGS.

Aufgabe 3

Aktiviere das Kontrollkästchen [Grafik] und anschließend die Kontrollkästchen [g] und [S]. Zur besseren Übersicht kannst du auch Gleichungen ein- und ausblenden. Erläutere, was die mit [g] eingeblendeten Geraden veranschaulichen bzw. was der mit [S] eingeblendete Punkt veranschaulicht. Probiere, durch Drehen der Grafik die Lösung des LGS abzuschätzen.

Aufgabe 4

In den grau unterlegten Feldern im unteren Fenster werden drei Umformungsmöglichkeiten bereitgestellt. Die sollen jetzt nach und nach erprobt werden. Am besten, du machst nach jedem Erprobungsschritt diesen mit der entsprechenden Schaltfläche wieder rückgängig. Dadurch bleibt das LGS recht einfach. Wenn du mehrere Schritte ausgeführt hast und das ursprüngliche LGS wieder herstellen willst, dann aktiviere die Schaltfläche [Gleichungssystem übernehmen].

(a) Betrachte das Tauschen von Zeilen. Stelle mit den Schiebereglern die zu tauschenden Zeilen ein. Beobachte beim Drücken der Schaltfläche [ausführen], wie sich das LGS verändert und wie sich die Lösung des LGS dabei verändert. Kläre mit diesen Experimenten (und dem gesunden Menschenverstand), dass das Tauschen von Zeilen eine Äquivalenzumformung ist.

(b) Betrachte die Multiplikation einer Zeile mit einer reellen Zahl. Stelle mit dem Schieberegler die Zeile ein und gib im Eingabefeld die Multiplikationszahl ein (z.B. die $2$). Beobachte beim Drücken der Schaltfläche [ausführen], wie sich das LGS verändert und wie sich die Lösung des LGS dabei verändert. Erprobe auch, was eine Multiplikation mit der Zahl $0$ bewirkt. Kläre mit diesen Experimenten (und dem gesunden Menschenverstand), dass das Multiplizieren einer Zeile mit einer reellen Zahl ungleich $0$ eine Äquivalenzumformung ist.

(c) Betrachte die Addition von Zeilen. Hier kann man zu einer Zeile das Vielfache einer anderen Zeile hinzufügen. Hierzu muss man die Zeilen und die Multiplikationszahl passend einstellen bzw. vorgeben. Betrachte als Beispiel die Umformung $[1]\leftarrow [1]+[2]\cdot 3$. Diese Umformung bedeutet: Ersetze $[1]$ durch die Summe aus Gleichung $1$ und dem $3$-fachen der Gleichung $[2]$. Beobachte beim Drücken der Schaltfläche [ausführen], wie sich das LGS verändert und wie sich die Lösung des LGS dabei verändert. Erprobe weitere entsprechende Umformungen. Beim Beobachten kann es sinnvoll sein, nur die beteiligten Gleichuchungen einzublenden. Kläre dabei u.a. folgende Fragen: Was bewirkt das Addieren von Zeilen mit dem Multiplikationsfaktor $1$? Welche Schwierigkeit tritt beim Addieren von Zeilen mit dem Multiplikationsfaktor $0$ auf? Kläre mit solchen Experimenten, dass das Addieren von Zeilen (mit einer Vervielfachungszahl ungleich $0$) eine Äquivalenzumformung ist.

(d) Der folgende Satz fasst die Ergebnisse der Experimente zusammen. Mache dir diese Ergebnisse nochmal klar.

Ein LGS mit Äquivalenzumformungen lösen

Wir benutzen jetzt die im Applet angebotenen (Äquivalenz-) Umformungsmöglichkeiten, um das LGS schrittweise zu lösen. Dabei verwenden wir die in Aufgabe 2 formulierte Strategie.

Zum Herunterladen: gauss_tool.ggb

Betrachte das im Applet vorgegebene LGS. Blende jetzt mit dem entsprechenden Kontrollkästchen das Strukturmuster des LGS ein.

Aufgabe 6

(a) Nutze passende Äquivalenzumformungen, um das vorgegebene LGS in ein äquivalentes LGS in Stufenform zu transformieren. Beachte, dass man beim vorliegenden sehr einfachen LGS mit dem Addieren von Zeilen schnell zum Ziel gelangt. Wenn du Hilfen benötigst, dann blende sie unten ein.

(b) Löse das LGS in Stufenform durch Rückwärtseinsetzen von unten nach oben.