Zusammenfassung - Lösungsmengen eines LGS

Lösungen eines LGS

Was ist eine Lösung eines LGS? Das kann man sich im folgenden Applet klarmachen.

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Das LGS im Applet besteht aus $3$ Gleichungen mit den Variablen $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Für die Variablen kann man Werte einsetzen. Die im Applet eingestellten Werte $(x_1;x_2;x_3)=(1.5;0.5;0)$ erfüllen nur Gleichung $[1]$. Wenn man die Werte $(x_1;x_2;x_3)=(1.5:1;-0.5)$ im Applet einstellt, dann sieht man, dass alle drei Gleichungen des LGS erfüllt sind.

Wir schreiben die Lösungen eines LGS als Zahlentupel. So ist das Zahlentupel $(x_1;x_2;x_3)=(1.5;1;-0.5)$ eine Lösung des im Applet vorgegebenen LGS.

Ein LGS kann mehr als eine Lösung haben (s.u.). Man fasst daher die Lösungen eines LGS in einer Menge – der Lösungsmenge des LGS – zusammen. Das LGS im Applet oben hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(1.5;1;-0.5)\}$ bestehend aus nur einem Lösungstupel.

Veranschaulichung von Lösungsmengen – $1$ Gleichung mit $3$ Variablen

Wir betrachten zunächst $1$ Gleichung mit $3$ Variablen.

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Im Applet ist die Gleichung $[1]:x_1+x_2+x_3=2$ vorgegeben. Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, u. a. das Lösungstupel $(x_1;x_2;x_3)=(1;1;0)$. Jedes Lösungstupel lässt sich mit einem Punkt in einem 3D-Koordinatensystem veranschaulichen. Im Applet sind bereits einige dieser Lösungspunkte zu sehen. Durch Drehen des Koordinatensystems stellt man fest, dass alle Lösungspunkte auf einer Ebene liegen. Es gilt folgender algebraisch-geometrischer Zusammenhang.

Man kann Lösungen der Gleichung $[1]:x_1+x_2+x_3=2$ so bestimmen: Man gibt mit $x_2=2$ und $x_3=-1$ zwei Zahlen vor und bestimmt dann $x_1$ so, dann die Gleichung $x_1+x_2+x_3=2$ erfüllt ist; also $x_1=1$. Dieses Vorgehen lässt sich verallgemeinern und führt zu einer Darstellung der Gesamtheit aller Lösungen.

Man erhält alle Lösungen der Gleichung $[1]:x_1+x_2+x_3=2$, indem man für $x_2$ eine Zahl $r\in \mathbb{R}$ und für $x_3$ eine Zahl $s\in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1=2-r-s$ berechnet. Kurz:

$(x_1;x_2;x_3)=(2-r-s;r;s)$ mit $r,s\in \mathbb{R}$

Diese Schreibweise verdeutlicht, dass es unendlich viele Lösungen gibt und wie man die Lösungen erhält. Etwas formaler lässt sich die Lösungsmenge der Gleichung $[1]$ dann in der folgenden Mengenschreibweise beschreiben.

$\mathbb{L}=\{(x_1;x_2;x_3)|(x_1;x_2;x_3)=(2-r-s;r;s)$ mit $r,s\in \mathbb{R}\}$

Wir verzichten in der Regel auf diese aufwendigere Schreibweise und verwenden die oben gezeigte Kurzschreibweise.

Veranschaulichung von Lösungsmengen – mehrere Gleichung mit $3$ Variablen

Wir betrachten zunächst $2$ Gleichungen mit $3$ Variablen.

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Eine Lösung des LGS bestehend aus den Gleichungen $[1]$ und $[2]$ muss beide Gleichungen erfüllen. Die entsprechenden Lösungspunkte müssen dann auf den beiden Gleichungsebenen liegen. Im Applet schneiden sich die beiden Lösungsebenen. Die Lösungen des LGS bilden geometrisch betrachtet somit die Schnittgerade der beiden Ebenen.

Algebraisch erhält man alle Lösungen der Gleichungen $[1]:x_1+x_2+x_3=2$ und $[2]:x_1-x_3=2$, indem man für $x_3$ eine Zahl $t\in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1=2+t$ und schließlich $x_2$ mit $x_2=-2t$ berechnet. Kurz:

$(x_1;x_2;x_3)=(2+t;-2t;t)$ mit $t\in \mathbb{R}$

Wenn man schließlich $3$ Gleichungen mit $3$ Variablen betrachtet, so ergeben sich verschiedene Möglichkeiten, wie die (lösungs-) Ebenen zueinander liegen. Im folgenden Applet kann man die unterschiedlichen Fälle durchspielen.

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Am besten geht man bei der Argumentation schrittweise vor. Zunächst betrachtet man den Fall, dass nur $1$ lineare Gleichung mit $3$ Variablen gegeben ist. Im Applet kann man das simulieren, indem man nur die erste Gleichung einblendet. Die Lösungen von $1$ linearen Gleichung mit $3$ Variablen bilden geometrisch betrachtet eine Ebene im 3D-Raum.

Jetzt kommt eine Gleichung hinzu. Im Applet kann man das simulieren, indem man zusätzlich zur ersten auch die zweite Gleichung einblendet. Man sieht anhand der Beispiele, dass nur folgende Schnittgebilde bei der Veranschaulichung der Lösungen möglich sind: eine Gerade (wenn sich die beiden Ebenen schneiden), die leere Menge (wenn die beiden Ebenen parallel sind) oder die gesamte Ebene (wenn beide Ebenen identisch sind).

Eine weitere Gleichung kommt noch hinzu. Im Applet kann man das simulieren, indem man jetzt alle drei Gleichungen einblendet. Ausgehend von den Schnittgebilden bei $2$ Gleichungen sieht man, dass jetzt nur diese Schnittgebilde bei $3$ Gleichungen möglich sind: ein Punkt oder eine Gerade oder die leere Menge oder die gesamte Ebene.

Man erhält mit dieser geometrischen Argumention das folgende Ergebnis.

An diesem Ergebnis ändert sich nichts, wenn man weitere Gleichungen mit $3$ Variablen dazunimmt. Man kann auch zeigen, dass dasselbe Ergebnis bei einen anderen Anzahl von Variablen herauskommt.