Vertiefung

Rückwärtseinsetzen automatisieren

Das Rückwärtsauflösen eines LGS in Stufenform lässt sich ebenfalls mit Hilfe von Äquivalenzumformungen durchführen. Das so erweiterte Umformungsverfahren wird dann Gauß-Jordan-Verfahren genannt. Wir verdeutlichen das Vorgehen anhand von Beispielen.

Von der Rechteckform zur Stufenform

Zunächst wird das LGS mit Äquivalenzumformungen in Stufenform transformiert.

	Gleichungen	Tabelle
LGS in Rechteckform	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& 3x_1& +& 9x_2& +& (-2)x_3& =& -1\\ [2]& 2x_1& +& 4x_2& +& (-2)x_3& =& 0\\ [3]& -4x_1& +& (-5)x_2& +& 7x_3& =& 3\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 3& 9& -2& -1\\ [2]& 2& 4& -2& 0\\ [3]& -4& -5& 7& 3\end{array}$
Äquivalenzumformungen	$\dots$	$\dots$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& +& 2x_2& +& (-1)x_3& =& 0\\ [2]& & & 3x_2& +& x_3& =& -1\\ [3]& & & & & 2x_3& =& 4\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& 2& -1& 0\\ [2]& 0& 3& 1& -1\\ [3]& 0& 0& 2& 4\end{array}$

Auflösen einer Stufenform

Das LGS in Stufenform kann man jetzt schrittweise nach den Variablen auflösen.

LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& +& 2x_2& +& (-1)x_3& =& 0\\ [2]& & & 12x_2& +& 4x_3& =& -4\\ [3]& & & & & 2x_3& =& 4\end{array}$
$[3]$ nach $x_3$ auflösen	$\begin{array}{lrc}{x}_3& =& 2\end{array}$
$x_3$ in $[2]$ einsetzen und $[2]$ nach $x_2$ auflösen	$\begin{array}{lrc}{x}_2& =& -1\end{array}$
$x_2$ und $x_3$ in $[1]$ einsetzen und $[1]$ nach $x_1$ auflösen	$\begin{array}{lrc}{x}_1& =& 4\end{array}$
Lösung des LGS	$(x_1;x_2;x_3)=(4;-1;2)$

Rückwärtsauflösen mit Äquivalenzumformungen

Das Rückwärtsauflösen man man auch mit Hilfe von Äquivalenzumformungen durchführen.

	Gleichungen	Tabelle
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& +& 2x_2& +& (-1)x_3& =& 0\\ [2]& & & 3x_2& +& x_3& =& -1\\ [3]& & & & & 2x_3& =& 4\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& 2& -1& 0\\ [2]& 0& 3& 1& -1\\ [3]& 0& 0& 2& 4\end{array}$
Auflösen nach $x_3$	$[3]\leftarrow [3]\cdot \frac{1}{2}$	$[3]\leftarrow [3]\cdot \frac{1}{2}$
transformiertes LGS	$\begin{array}{lr}[1]& \dots \\ [2]& \dots \\ [3]& \dots \end{array}$	$\begin{array}{lr}[1]& \dots \\ [2]& \dots \\ [3]& \dots \end{array}$
Einsetzen von $x_3$ in $[2]$	$[2]\leftarrow [2]+[3]\cdot (-1)$	$[2]\leftarrow [2]+[3]\cdot (-1)$
transformiertes LGS	$\begin{array}{lr}[1]& \dots \\ [2]& \dots \\ [3]& \dots \end{array}$	$\begin{array}{lr}[1]& \dots \\ [2]& \dots \\ [3]& \dots \end{array}$
Auflösen nach $x_2$	$[2]\leftarrow [2]\cdot \frac{1}{3}$	$[2]\leftarrow [2]\cdot \frac{1}{3}$
transformiertes LGS	$\begin{array}{lr}[1]& \dots \\ [2]& \dots \\ [3]& \dots \end{array}$	$\begin{array}{lr}[1]& \dots \\ [2]& \dots \\ [3]& \dots \end{array}$
Einsetzen von $x_3$ in $[1]$	$[1]\leftarrow [1]+[3]$	$[1]\leftarrow [1]+[3]$
transformiertes LGS	$\begin{array}{lr}[1]& \dots \\ [2]& \dots \\ [3]& \dots \end{array}$	$\begin{array}{lr}[1]& \dots \\ [2]& \dots \\ [3]& \dots \end{array}$
Einsetzen von $x_2$ in $[1]$	$[1]\leftarrow [1]+[2]\cdot (-2)$	$[1]\leftarrow [1]+[2]\cdot (-2)$
LGS in Diagonalform	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& & & & & =& 4\\ [2]& & & x_2& & & =& -1\\ [3]& & & & & x_3& =& 2\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& 0& 0& 4\\ [2]& 0& 1& 0& -1\\ [3]& 0& 0& 1& 2\end{array}$

Aufgabe 1

Ergänze jeweils das LGS in Gleichungs- oder Tabellenform. Gib die Lösung an.

$(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;\dots )$

Aufgabe 2

Gehe analog vor. Bestimme jeweils die Lösungsmenge.

(a)

LGS ist Stufenform	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 1\\ [2]& 0& 1& -1& -1\\ [3]& 0& 0& 1& 2\end{array}$
$\dots$	$\dots$

$(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;\dots )$

(b)

LGS ist Stufenform	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 1\\ [2]& 0& 1& -1& -1\\ [3]& 0& 0& 0& 0\end{array}$
Parameter einführen	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 1\\ [2]& 0& 1& -1& -1\\ [3]& 0& 0& 1& r\end{array}$
$[2]\leftarrow [2]+[3]\cdot 1$	$\begin{array}{lr}[1]& \dots \\ [2]& \dots \\ [3]& \dots \end{array}$
$\dots$	$\dots$

$(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;\dots )$

(c)

LGS ist Stufenform	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 1\\ [2]& 0& 0& 0& 0\\ [3]& 0& 0& 0& 0\end{array}$
Parameter einführen	$\begin{array}{lr}[1]& \dots \\ [2]& \dots \\ [3]& \dots \end{array}$
$\dots$	$\dots$

$(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;\dots )$

Aufgabe 2

(a) Erläutere: Das Gauß-Verfahren kann rein schematisch von einer Person durchgeführt werden, die überhaupt nicht versteht, was sie da macht. Man muss der Person nur eine genaue Handlungsanweisung geben.

(b) Erläutere:

(c) Versuche, eine grobe Handlungsanweisung für das Gauß-Verfahren zu schreiben. Wenn du gut Programmieren kannst, dann erstelle ein Programm zur Durchführung des Gauß-Verfahrens.