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Theoriebildung - Koeffizientenvektoren

Zur Orientierung

Wir werfen hier einen anderen Blick auf lineare Gleichungssysteme und ihre Lösungen. Wir verwenden hierzu das Vektorkonzept.

Ein LGS mit Vektoren beschreiben

Betrachte das folgende LGS:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & x_{2} & + & 0.5 x_{3} & = & 1 \\ [2] & x_{2} & = & 2.5 \\ [3] & - 0.5 x_{1} & x_{3} & = & 2 \end{array}$

Aufgabe 1

(a) Das LGS lässt sich mit Hilfe von Koeffizientenvektoren ${\vec{a}}_{1}$ , ${\vec{a}}_{2}$ , ${\vec{a}}_{3}$ und einem Rechte-Seite-Vektor $\vec{b}$ darstellen. Ergänze die fehlenden Einträge und erläutere den Zusammenhang zwischen der Gleichungsdarstellung und der entsprechenden Vektordarstellung.

$\underset{{\vec{a}}_{1}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 0.5 \end{matrix})}} \cdot x_{1} + \underset{{\vec{a}}_{2}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{matrix})}} \cdot x_{2} + \underset{{\vec{a}}_{3}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{matrix})}} \cdot x_{3} = \underset{\vec{b}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{matrix})}}$

(b) Zeige, dass $(x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (2; 2.5; 3)$ eine Lösung des oben vorgegebenen LGS ist.

(c) Stelle die Werte der Variablen im Applet unten ein. Erläutere anhand des Applets die folgende geometrische Deutung der Lösung des LGS:

Ein Zahlentupel $(x_{1}; x_{2}; x_{3})$ ist eine Lösung des betrachteten LGS genau dann, wenn der Rechte-Seite-Vektor $\vec{b}$ sich mit diesen Zahlen als Linearkombination aus den Koeffizientenvektoren ${\vec{a}}_{1}$ , ${\vec{a}}_{2}$ , ${\vec{a}}_{3}$ darstellen lässt:

${\vec{a}}_{1} \cdot x_{1} + {\vec{a}}_{2} \cdot x_{2} + {\vec{a}}_{3} \cdot x_{3} = \vec{b}$

Anleitung für das Applet

Das LGS kann man mit Hilfe der Koeffizientenvektoren ${\vec{a}}_{1}$ , ${\vec{a}}_{2}$ , ${\vec{a}}_{3}$ und des Rechte-Seite-Vektors $\vec{b}$ selbst eingeben. Das LGS wird dann – in der Vektorform – rechts oben angezeigt.
Die Koeffizientenvektoren ${\vec{a}}_{1}$ , ${\vec{a}}_{2}$ , ${\vec{a}}_{3}$ werden zusätzlich in der 3D-Grafik mit violetten Pfeilen verdeutlicht.
Werte für die Variablen $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ kann man mit Hilfe der drei Schieberegler vorgeben. Mit diesen Werten wird die Linearkombination ${\vec{a}}_{1} \cdot x_{1} + {\vec{a}}_{2} \cdot x_{2} + {\vec{a}}_{3} \cdot x_{3}$ gebildet und unten rechts angezeigt.
Die Linearkombination ${\vec{a}}_{1} \cdot x_{1} + {\vec{a}}_{2} \cdot x_{2} + {\vec{a}}_{3} \cdot x_{3}$ wird zusätzlich in der 3D-Grafik mit einer lila Box verdeutlicht. Der lila Punkt ist der Punkt, dessen Vektordarstellung der Linearkombination entspricht.
Das LGS ist gelöst, wenn man Werte für $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ findet, so dass die Linearkombination ${\vec{a}}_{1} \cdot x_{1} + {\vec{a}}_{2} \cdot x_{2} + {\vec{a}}_{3} \cdot x_{3}$ mit dem Rechte-Seite-Vektor $\vec{b}$ übereinstimmt. In der 3D-Grafik muss hierzu das Ende des (orange dargestellten) Rechte-Seite-Vektors zum lila Linearkombinationspunkt zeigen.

Zum Herunterladen: vektordarstellung1.ggb

Lösbarkeit eines LGS untersuchen

Mit der Visualisierung im Applets kann man die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen anschaulich untersuchen.

Aufgabe 2

(a) Variiere die rechte Seite des oben betrachteten LGS. Stelle den Rechte-Seite-Vektor im Applet passend ein.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & x_{2} & + & 0.5 x_{3} & = & 2 \\ [2] & x_{2} & = & 4 \\ [3] & - 0.5 x_{1} & x_{3} & = & 2 \end{array}$

Suche mit Hilfe des Applets eine Lösung des LGS.

Zur Kontrolle

(x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (4; 4; 4)

(b) Betrachte jetzt als Variation einen beliebigen Rechte-Seite-Vektor $\vec{b}$ . Warum findet man für jeden Rechte-Seite-Vektor $\vec{b}$ eine Lösung? Hast du einer Erklärung hierfür?

Aufgabe 3

(a) Stelle jetzt das folgende LGS im Applet oben ein.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & - x_{1} & - & 2 x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ [2] & 0.5 x_{1} & + & x_{2} & = & 2.5 \\ [3] & 0.5 x_{1} & + & x_{2} & + & 2 x_{3} & = & 2 \end{array}$

Begründe anschaulich, dass dieses LGS keine Lösung hat.

(b) Variiere das LGS, indem du die rechte Seite wie folgt abänderst.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & - x_{1} & - & 2 x_{2} & + & x_{3} & = & - 2 \\ [2] & 0.5 x_{1} & + & x_{2} & = & 1.5 \\ [3] & 0.5 x_{1} & + & x_{2} & + & 2 x_{3} & = & 3.5 \end{array}$

Zeige im Applet, dass das LGS jetzt u.a. die Lösungen $(x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (1; 1; 1)$ und $(x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (3; 0; 1)$ hat.

(c) Vergleiche mit der Situation in Aufgabe 2. Woran liegt es, dass das hier betrachtete LGS je nach Rechte-Seite-Vektor keine oder mehrere (sogar unendlich viele) Lösungen hat? Hast du einer Erklärung hierfür?

Lösbarkeit mit linearer (Un-) Abhängigkeit charakterisieren

Die Beispiele oben verdeutlichen, dass man die Lösbarkeit eines LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen anhand der Koeffizientenvektoren erkennen kann. Entscheidend ist dabei, welche Vektoren man aus den Koeffizientenvektoren mit Linearkombinationen erzeugen kann. Zur genaueren Charakterisierung benötigen wir das Konzept der linearen (Un-) Abhängigkeit von Vektoren (siehe Lineare (Un-) Abhängigkeit).

Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn (mindestens) einer der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist bzw. wenn es eine reelle Zahl $k$ gibt, sodass $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ oder $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ gilt.

Drei Vektoren $\vec{u}$ , $\vec{v}$ und $\vec{w}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn (mindestens) einer der Vektoren sich als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen lässt bzw. wenn es reelle Zahlen $p$ und $q$ gibt, sodass $\vec{u} = p \cdot \vec{v} + q \cdot \vec{w}$ oder $\vec{v} = p \cdot \vec{u} + q \cdot \vec{w}$ oder $\vec{w} = p \cdot \vec{u} + q \cdot \vec{v}$ gilt.

Zwei bzw. drei Vektoren nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.

Folgende Konstellationen können bei LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen entstehen.

Situation A

Die $3$ Koeffizientenvektoren ${\vec{a}}_{1}$ , ${\vec{a}}_{2}$ , ${\vec{a}}_{3}$ sind linear unabhängig.

Zum Herunterladen: vektordarstellung1.ggb

Die $3$ Koeffizientenvektoren spannen den gesamten 3D-Raum auf. Man kann jeden 3D-Vektor $\vec{b}$ mit einer Linearkombination aus den Koeffizientenvektoren darstellen. Die Darstellung ist dabei eindeutig.

Situation B

Die $3$ Koeffizientenvektoren ${\vec{a}}_{1}$ , ${\vec{a}}_{2}$ , ${\vec{a}}_{3}$ sind linear abhängig. Mindestens $2$ der Koeffizientenvektoren sind linear unabhängig.

Zum Herunterladen: vektordarstellung2.ggb

Die $3$ Koeffizientenvektoren spannen eine 2D-Ebene auf. Man kann nur einen 3D-Vektor $\vec{b}$ mit einer Linearkombination aus den Koeffizientenvektoren darstellen, der einem Punkt der Ebene entspricht. Die Darstellung ist dabei nicht eindeutig. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten der Darstellung.

Situation C

Die $3$ Koeffizientenvektoren ${\vec{a}}_{1}$ , ${\vec{a}}_{2}$ , ${\vec{a}}_{3}$ sind linear abhängig. Jeweils $2$ der Koeffizientenvektoren sind linear unabhängig.

Zum Herunterladen: vektordarstellung3.ggb

Die $3$ Koeffizientenvektoren spannen eine 1D-Gerade auf. Man kann nur einen 3D-Vektor $\vec{b}$ mit einer Linearkombination aus den Koeffizientenvektoren darstellen, der einem Punkt der Geraden entspricht. Die Darstellung ist dabei nicht eindeutig. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten der Darstellung.

Aufgabe 4

Analysiere die eingestellten Koeffizientenvektoren in den 3 Situationen. Begründe jeweils die Aussagen zur linearen (Un-) Abhängigkeit der Koeffizientenvektoren.

Aufgabe 5

Mache dir den folgenden Satz anhand des Applets klar.

Lineare (Un-) Abhängigkeit der Koeffizientenvektoren und Lösbarkeit des LGS

Für ein LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen mit der Vektordarstellung ${\vec{a}}_{1} \cdot x_{1} + {\vec{a}}_{2} \cdot x_{2} + {\vec{a}}_{3} \cdot x_{3} = \vec{b}$ gilt:

Wenn die Koeffizientenvektoren ${\vec{a}}_{1}$ , ${\vec{a}}_{2}$ , ${\vec{a}}_{3}$ linear unabhängig sind, dann hat das LGS genau eine Lösung.

Wenn die Koeffizientenvektoren ${\vec{a}}_{1}$ , ${\vec{a}}_{2}$ , ${\vec{a}}_{3}$ linear abhängig sind, dann hat das LGS entweder keine oder unendlich viele Lösungen.