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Vertiefung

Zielsetzung

Im letzten Abschnitt hast du ein GeoGebra-Applet benutzt, um ein LGS schrittweise in Stufenform zu transformieren. Das GeoGebra-Applet hat den Vorteil, dass es die Lösungen der einzelnen Gleichungen mit Hilfe von Ebenen im 3D-Raum visualiert. Das GeoGebra-Applet hat den Nachteil, dass es nur dann gut funktioniert, wenn bei den Umformungen keine gerundeten Werte auftreten. Es ist zudem nur bei Gleichungssystemen mit 3 Gleichungen und 3 Variablen anwendbar. Wegen dieser Einschränkungen führen wir hier ein weiteres, viel flexibleres LGS-Tool zum Lösen linearer Gleichungssysteme ein.

Ein LGS-Umformungstool verwenden

Zur Durchführung der Strategie ein vorgegebenes LGS in Stufenform umwandeln kannst du das folgende LGS-Umformungstool verwenden.

Anleitung für das LGS-Umformungstool
  • Ein zu bearbeitendes LGS ist bereits vorgegeben. Mit [System bearbeiten] kann man das zu bearbeitende LGS verändern oder neu eingeben.
  • Das LGS wird hier in der Gleichungsansicht gezeigt. Mit [Tabelle] kann man in eine Tabellenansicht wechseln. Beachte, dass in der Gleichungsansicht eine Gleichung wie z.B. x1+2x2−x3=0 additiv und jeweils mit Vorfaktoren in der Form 1x1+2x2+(−1)x3=0 dargestellt wird.
  • Das Tool bietet mit den Schaltflächen [Addieren], [Multiplizieren] und [Tauschen] mehrere Möglichkeiten zur Umformung bzw. Transformation eines LGS an. Um temporär zu sehen, was ein Umformungsschritt bewirkt, wird das transformierte System angezeigt. Die Veränderungen gegenüber dem Ausgangssystem werden dabei rot hervorgehoben. Wenn die Transformation den gewünschten Effekt hat, kann man mit [Übernehmen] das transformierte LGS zum neuen Ausgangs-LGS machen.
  • Im Verlauf werden die durchgeführten Transformationen in einer Kurzschreibweise mitprotokolliert. Mit [Rückgängig] und [Wiederholen] kann man die durchgeführten Umformungsschritte noch einmal vollständig nachvollziehen.

Teste das LGS-Tool. Die folgenden Aufgaben bieten – vom Schwierigkeitsgrad her gestuftes – Material, um die Strategie zum Lösen eines LGS anzuwenden und zu verfeinern. Beachte, dass es jeweils mehrere Möglichkeiten gibt, wie man vorgehen kann. Wechsle auch zwischen den beiden Darstellungen Gleichungen und Tabelle. Mache dir die Vor- und Nachteile der beiden Darstellungsmöglichkeiten klar.

Aufgabe 1

Löse das LGS mit geeigneten Umformungsschritten.

[1]x1−2x2−x3=1[2]−x1+x2+x3=1[3]2x1+3x2+x3=0

Aufgabe 2

Löse das LGS mit geeigneten Umformungsschritten.

[1]12x2+4x3=−4[2]3x1+6x2+(−3)x3=0[3]4x1+(−4)x2+(−6)x3=8

Aufgabe 3

Löse das LGS mit geeigneten Umformungsschritten.

[1]3x1+4x2−x3=1[2]2x1−x2−3x3=2[3]−4x1−8x2+3x3=3

Aufgabe 4

Löse das LGS mit geeigneten Umformungsschritten.

[1]x1+1x2−3x3+x4=1[2]4x1+6x2−16x3=6[3]−2x1+x2+x3−9x4=1[4]−x1−3x2−5x3+6x4=−2

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