Wiederholung - Lösungen eines LGS mit 2 Gleichungen und 2 Variablen

Lösungen eines LGS bestimmen

Die Untersuchungen werden mit Hilfe des folgenden Applets durchgeführt. Bearbeite die darauf folgenden Aufgaben.

Zum Herunterladen: lgs22_mit_visualisierung.ggb

Aufgabe 1

(a) Im Applet ist die Gleichung $[1]:x+y=2$ vorgegeben. Die Werte der Variablen sind mit $(x;y)=(1;1)$ so vorgegeben, dass sie eine Lösung der Gleichung $[1]$ ergeben. Drücke die Schaltfläche [Lösung übernehmen]. Beobachte dabei die Grafik im rechten Fenster.

(b) Bestimme jetzt weitere Lösungen Gleichung $[1]$ und übernimm sie durch Drücken der Schaltfläche.

(c) Die Lösungen der Gleichung werden in der Grafik als Punkte im Koordinatensystem dargestellt. Die Punkte zu den Lösungen liegen dabei alle auf einer Geraden. Das kannst du überprüfen, indem du das Kontrollkästchen rechts neben Gleichung $[1]$ anklickst. Aber warum ist das so? Begründe, indem du Gleichung $[1]$ nach $y$ auflöst:

$[1]:y=\dots$

Aufgabe 2

(a) Blende jetzt auch Gleichung $[2]$ ein. Das Zahlentupel $(x;y)=(1;1)$ erfüllt nur Gleichung $[1]$. Lösche mit [Lösungen löschen] alle bisher ermittelten Lösungen der Gleichung $[1]$.

(b) Gehe jetzt auf die Suche nach Lösungen, die beide Gleichungen $[1]$ und $[2]$ erfüllen. Wenn du eine solche Lösung gefunden hast, dann übernimm sie durch Drücken der Schaltfläche.

(c) Aktiviere jetzt auch das Kontrollkästchen rechts neben Gleichung $[2]$. Begründe: Das LGS bestehend aus Gleichung $[1]$ und $[2]$ hat genau eine Lösung.

Aufgabe 3

(a) Im Applet kann man die Gleichungen abändern. Ändere eine Gleichung (oder beide Gleichungen) so ab, dass das LGS keine Lösung hat.

(b) Ändere eine Gleichung (oder beide Gleichungen) so ab, dass das LGS uenendlich viele Lösung hat.

(c) Begründe, dass es nicht möglich ist, dass ein LGS mit $2$ Gleichungen und $2$ Variablen genau $2$ (oder genau $3$ oder ...) Lösungen hat.