Vertiefung - Algebraische Beschreibung von Lösungsmengen

Lösungsmengen beschreiben

Aufgabe 1

Im Applet ist die Gleichung $[1]:x_1+x_2+x_3=2$ vorgegeben.

Zum Herunterladen: lgs13_mit_visualisierung_1.ggb

(a) Mache dir nochmal klar, wie du im letzten Abschnitt Lösungen der Gleichung $[1]$ bestimmt hast: Ergänze hierzu $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;1;1)$ sowie $(x_1;1;-1)=(\dots ;\dots ;2)$ zu einer Lösung der Gleichung $[1]$.

(b) Erläutere das folgende verallgemeinerte Vorgehen: Man erhält alle Lösungen der Gleichung $[1]:x_1+x_2+x_3=2$, indem man für $x_2$ eine Zahl $r\in \mathbb{R}$ und für $x_3$ eine Zahl $s\in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1=2-r-s$ berechnet. Kurz:

$(x_1;x_2;x_3)=(2-r-s;r;s)$ mit $r,s\in \mathbb{R}$

Diese Schreibweise verdeutlicht, dass es unendlich viele Lösungen gibt und wie man die Lösungen erhält. Etwas formaler lässt sich die Lösungsmenge der Gleichung $[1]$ dann in der folgenden Mengenschreibweise beschreiben.

$\mathbb{L}=\{(x_1;x_2;x_3)|(x_1;x_2;x_3)=(2-r-s;r;s)$ mit $r,s\in \mathbb{R}\}$

Wir verzichten in der Regel auf diese aufwendigere Schreibweise und verwenden die oben gezeigte Kurzschreibweise.

(c) Alternativ könnte man auch so vorgehen: Man erhält alle Lösungen der Gleichung $[1]:x_1+x_2+x_3=2$, indem man für $x_1$ eine Zahl $a\in \mathbb{R}$ und für $x_2$ eine Zahl $a\in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_3$ mit $x_3=\dots$ berechnet. Kurz:

$(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;\dots )$ mit $a,b\in \mathbb{R}$

Aufgabe 2

Betrachte die Situation im Applet. Hier sind $2$ Gleichungen mit $3$ Variablen vorgegeben.

Zum Herunterladen: lgs23_mit_visualisierung_1.ggb

(a) Mache dir nochmal klar, wie man hier gemeinsame Lösungen des Gleichungssystems bestimmen kann. Ergänze hierzu $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;1)$ sowie $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;2)$ zu einer gemeinsamen Lösungen der Gleichungen $[1]$ und $[2]$.

(b) Verallgemeinere das Vorgehen. Man erhält alle Lösungen der Gleichungen $[1]:x_1+x_2+x_3=2$ und $[2]:x_1-x_3=2$, indem man für $x_3$ eine Zahl $t\in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1=\dots$ und schließlich $x_2$ mit $x_2=\dots$ berechnet. Kurz:

$(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;t)$ mit $t\in \mathbb{R}$