o-mathe | Strukturelle Zusammenhänge » Theoriebildung

Theoriebildung - Koeffizientenmatrix

Zur Orientierung

Wir werfen hier einen anderen Blick auf lineare Gleichungssysteme und ihre Lösungen. Wir verwenden hierzu das Matrixkonzept.

Ein LGS mit einer Matrix beschreiben

Betrachte das folgende LGS:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & x_{2} & + & 2 x_{3} & = & 3 \\ [2] & - 0.5 x_{1} & + & 0.5 x_{2} & - & x_{3} & = & - 1.5 \\ [3] & 1.5 x_{1} & - & 1.5 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 4.5 \end{array}$

Aufgabe 1

(a) Das LGS lässt sich mit einer Koeffizientenmatrix $A$ und einem Rechte-Seite-Vektor $\vec{b}$ darstellen. Ergänze die fehlenden Einträge und erläutere den Zusammenhang zwischen der Gleichungsdarstellung und der entsprechenden Matrixdarstellung.

$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} = \underset{\vec{b}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{matrix})}}$

(b) Zeige mit Hilfe des Matrix-Vektor-Produkts, dass $(x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (4; 1; 0)$ und $(x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (1; 0; 1)$ Lösungen des oben vorgegebenen LGS sind. Zeige entsprechend, dass $(x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (3; 1; 1)$ keine Lösung des vorgegebenen LGS ist.

(c) Erläutere mit Hilfe der Berechnungen aus (b):

Ein Zahlentupel $(x_{1}; x_{2}; x_{3})$ ist eine Lösung des betrachteten LGS genau dann, wenn der Rechte-Seite-Vektor $\vec{b}$ dem Produkt $A \cdot \vec{x}$ aus der Koeffizientenmatrix $A$ und dem Zahlentupel (als Spaltenvektor $\vec{x}$ dargestellt) entspricht.

Mit Lösungen rechnen - der homogene Fall

Wir betrachten zunächst den Spezialfall, dass der Rechte-Seite-Vektor der Nullvektor ist.

$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ - 0.5 & 0.5 & - 1 \\ 1.5 & - 1.5 & 3 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} = \underset{\vec{b}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}}$

Ein LGS mit dem Nullvektor als Rechte-Seite-Vektor wird auch homogenes LGS genannt.

Aufgabe 2

(a) Zeige zunächst, dass $\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ und $\vec{v} = (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ Lösungsvektoren des homogenen LGS sind.

(b) Welche der folgenden Vektoren sind ebenfalls Lösungsvektoren des homogenen LGS?

$\vec{u} + \vec{v}$
$\vec{u} - \vec{v}$
$2 \vec{u}$
$- \vec{v}$
$3 \vec{u} - 2 \vec{v}$
$0 \cdot \vec{v}$

(c) Nutze Rechenregeln für das Matrix-Vektor-Produkt, um folgenden Satz über Lösungen eines homogenen LGS zu zeigen.

Wiederholung - Wissen über das Matrix-Vektor-Produkt

Für das Matrix-Vektor-Produkt gelten die folgenden Rechenregeln:

$A \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = A \cdot \vec{u} + A \cdot \vec{v}$

$A \cdot (r \cdot \vec{u}) = r \cdot A \cdot \vec{u}$

Lösungen eines homogenen LGS

Betrachte ein homogenes LGS mit der Matrixdarstellung $A \cdot \vec{x} = \vec{0}$ . Dann gilt:

Der Nullvektor $\vec{0}$ ist ein Lösungsvektor des LGS.
Ist $\vec{u}$ ein Lösungsvektor des LGS, so ist auch jedes Vielfache $r \cdot \vec{u}$ (mit einer reellen Zahl $r$ ) ein Lösungsvektor des LGS.
Sind $\vec{u}$ und $\vec{v}$ Lösungsvektoren des LGS, so ist auch die Summe $\vec{u} + \vec{v}$ und die Differenz $\vec{u} - \vec{v}$ ein Lösungsvektor des LGS.
Sind $\vec{u}$ und $\vec{v}$ Lösungsvektoren des LGS, so ist auch jede Linearkombination $r \vec{u} + s \vec{v}$ (mit reellen Zahlen $r$ und $s$ ) ein Lösungsvektor des LGS.

Der Satz zeigt, dass man – zumindest bei einem homogenen LGS – aus Lösungen rechnerisch neue Lösungen erzeugen kann. Es stellt sich die Frage, ob das auch bei einem LGS zutrifft, das nicht homogen ist.

Mit Lösungen rechnen - der inhomogene Fall

Wir betrachten wieder das eingangs vorgegebene LGS in der Matrixdarstellung.

Ein LGS, bei dem der Rechte-Seite-Vektor kein Nullvektor ist, wird auch inhomogenes LGS genannt.

Aufgabe 3

In Aufgabe 1 wurde gezeigt, dass $\vec{u} = (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ und $\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ Lösungsvektoren des inhomogenen LGS sind.

(a) Sind die folgenden Vektoren ebenfalls Lösungsvektoren des inhomogenen LGS?

$\vec{u} + \vec{v}$
$\vec{u} - \vec{v}$
$2 \vec{u}$
$- \vec{v}$
$0 \cdot \vec{v}$

(b) Zeige mit Hilfe des Matrix-Vektor-Produkts, dass die Lösungen eines inhomogenen LGS folgende Eigenschaften haben.

Lösungen eines inhomogenen LGS

Betrachte ein inhomogenes LGS mit der Matrixdarstellung $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ . Dann gilt:

Sind $\vec{u}$ und $\vec{v}$ Lösungsvektoren des inhomogenen LGS $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ , so ist die Differenz $\vec{u} - \vec{v}$ ein Lösungsvektor des zugehörigen homogenen LGS $A \cdot \vec{x} = \vec{0}$ .
Ist $\vec{u}$ ein Lösungsvektor des inhomogenen LGS $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ und ist $\vec{v}$ ein Lösungsvektor des zugehörigen homogenen LGS $A \cdot \vec{x} = \vec{0}$ , so ist die Summe $\vec{u} + \vec{v}$ ein Lösungsvektor des inhomogenen LGS $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ .

Die Ergebnisse zusammenfassen

Aufgabe 4

Benutze die erzielten Ergebnisse, um folgende Aussagen zu begründen.

Ein homogenes LGS $A \cdot \vec{x} = \vec{0}$ hat immer mindestens einen Lösungsvektor – nämlich den Nullvektor. Wenn ein homogenenes LGS einen Lösungsvektor hat, der kein Nullvektor ist, dann hat das homogene LGS unendlich viele Lösungsvektoren.
Wenn ein inhomogenes LGS $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ einen Lösungsvektor $\vec{u}$ hat, dann erhält man alle Lösungsvektoren des inhomogenes LGS $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ , indem man zum Lösungsvektor $\vec{u}$ die Lösungsvektoren des zugehörigen homogenen LGS $A \cdot \vec{x} = \vec{0}$ hinzuaddiert.