Erarbeitung

Lösungen eines LGS bestimmen

Die Untersuchungen werden mit Hilfe des folgenden Applets durchgeführt. Bearbeite die darauf folgenden Aufgaben.

Zum Herunterladen: lgs2.ggb

Aufgabe 1

Das Gleichungssystem besteht zunächst nur aus der Gleichung $[1]$. Im rechten Fenster kann man die Werte der Variablen $x$, $y$ und $z$ einstellen. Beachte, dass man mit den Schiebereglern nur Werte aus einem vorgegebenen Bereich mit einer vorgegebenen Schrittweite eingestellen kann. Alternativ kann man weitere Werte in die Eingabefelder eintragen.

(a) Bestimme Werte für die Variablen $x$, $y$ und $z$, so dass die Gleichung $x+y+z=7$ erfüllt ist. Mit einem grünen Häkchen wird im Applet eine passende Wahl der Werte bestätigt. Liste mehrere Lösungsmöglichkeiten auf.

Lösungen:
$(x;y;z)=(1;4;2)$
...

(b) Wie viele Lösungen hat die Gleichung $[1]$? Begründe kurz.

Aufgabe 2

Blende zusätzlich die Gleichung $[2]$ ein. Das Gleichungssystem besteht jetzt aus den Gleichungen $[1]$ und $[2]$.

(a) Gibt es Werte für die Variablen $x$, $y$ und $z$, so dass beide Gleichungen erfüllt sind? Liste ggf. deine gefundenen Lösungsmöglichkeiten auf.

Lösungen:
...

(b) Begründe: Alle Lösungen von $[1]$ und $[2]$ müssen die Bedingung $y+2z=3$ erfüllen.

(3) Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem? Begründe kurz.

Aufgabe 3

Blende auch noch die Gleichung $[3]$ ein. Das Gleichungssystem besteht jetzt aus den Gleichungen $[1]$, $[2]$ und $[3]$.

(a) Gibt es Werte für die Variablen $x$, $y$ und $z$, so dass alle drei Gleichungen erfüllt sind? Liste ggf. deine gefundenen Lösungsmöglichkeiten auf.

Lösungen:
...

(b) Begründe: Es gibt nur eine Kombination von Werten für die Variablen $x$, $y$ und $z$, so dass alle drei Gleichungen erfüllt sind.

Aufgabe 4

Blende abschließend auch die Gleichung $[4]$ ein. Das Gleichungssystem besteht jetzt aus den vier Gleichungen $[1]$, $[2]$, $[3]$ und $[4]$.

Gibt es Werte für die Variablen $x$, $y$ und $z$, so dass alle vier Gleichungen erfüllt sind? Stelle eine Vermutung auf. Begründe die Vermutung.