Erarbeitung - Lösungen eines LGS mit 3 Gleichungen und 3 Variablen

Lösungsmengen veranschaulichen

Aufgabe 1

Betrachte die Situation im Applet. Hier ist $1$ Gleichung mit $3$ Variablen vorgegeben.

Zum Herunterladen: lgs13_mit_visualisierung_1.ggb

(a) Im Applet ist die Gleichung $[1]:x_1+x_2+x_3=2$ vorgegeben. Die Werte der Variablen sind mit $(x_1;x_2;x_3)=(1;1;0)$ so eingestellt, dass sie eine Lösung der Gleichung $[1]$ ergeben. Drücke die Schaltfläche [Lösung übernehmen]. Beobachte dabei die Grafik im rechten Fenster.

(b) Bestimme jetzt weitere Lösungen der Gleichung $[1]$. Ergänze hierzu die vorgebenen Zahlentupel so, dass sie Lösungen der Gleichung $[1]$ ergeben. Übernimm die Lösungen jeweils durch Drücken der entsprechenden Schaltfläche.

• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;1;1)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;0;1)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;2;0)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;0;2)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;0;0)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;1;-1)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;-1;1)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;2;1)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;1;2)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;0.5;1)$
• ...

(c) Die Lösungen der Gleichung werden in der Grafik als Punkte in einem 3D-Koordinatensystem dargestellt. Was fällt auf? Drehe das Koordinatensystem, um die Lage der Punkte besser erfassen zu können. Stelle eine Vermutung auf, wie man sämtliche Lösungen der Gleichung veranschaulichen kann. Wie viele Lösungen hat die Gleichung $[1]$ demnach?

Zur Kontrolle

Im folgenden Applet sind bereits etliche Lösungstupel mit Punkten im 3D-Koordinatensystem veranschaulicht. In dem Applet kann man ein Kontrollhäkchen hinter der Gleichung aktivieren. Es wird dann angezeigt, wie man sich sämtliche Lösungen der Gleichung veranschaulichen kann. Drehe das Koordinatensystem so, dass man gut erkennen kann, dass die Lösungen der Gleichung mit einer Ebene im 3D-Raum veranschaulicht werden können. Die Gleichung hat demnach unendlich viele Lösungen.

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Aufgabe 2

Betrachte die Situation im Applet. Hier sind $2$ Gleichungen mit $3$ Variablen vorgegeben.

Zum Herunterladen: lgs23_mit_visualisierung_1.ggb

(a) Bestimme gemeinsame Lösungen der Gleichungen $[1]$ und $[2]$. Ergänze hierzu die vorgebenen Zahlentupel so, dass sie Lösungen von beiden Gleichungen ergeben. Übernimm die Lösungen jeweils durch Drücken der entsprechenden Schaltfläche.

• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;0)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;1)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;-1)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;0.5)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(\dots ;\dots ;-0.5)$
• ...

(b) Aktiviere im Applet die Kontrollhäkchen hinter den Gleichungen $[1]$ und $[2]$. Beschreibe, wo sich die Punkte zu den gemeinsamen Lösungen von Gleichung $[1]$ und $[2]$ befinden. Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem bestehend aus den beiden Gleichungen $[1]$ und $[2]$ somit vermutlich?

Zur Kontrolle

Im folgenden Applet sind die Lösungstupel aus Teilaufgabe (b) mit Punkten im 3D-Koordinatensystem veranschaulicht. Man sieht, dass alle Punkte zu den gemeinsamen Lösungen der Gleichungen $[1]$ und $[2]$ auf beiden Ebenen liegen. Die Punkte zu den Lösungen bilden die Schnittgerade der beiden Ebenen. Es gibt daher unendlich viele Lösungen.

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Aufgabe 3

Betrachte die Situation im Applet. Hier sind jetzt $3$ Gleichungen mit $3$ Variablen vorgegeben.

Zum Herunterladen: lgs33_mit_visualisierung_1.ggb

(a) Die eingestellten Werte der Variablen erfüllen noch nicht alle Gleichungen. Ändere den Wert von $x_1$ so ab, dass alle Gleichungen erfüllt sind und somit ein Lösungstupel des Gleichungssystems vorliegt.

(b) Veranschauliche mit [Lösung übernehmen] das Lösungstupel, das alle Gleichungen $[1]$, $[2]$ und $[3]$ erfüllt, mit einem Punkt im 3D-Koordinatensystem. Beschreibe die Lage des Punktes geometrisch.

(c) Blende die Ebenen zu den Gleichungen ein. Kläre jetzt auch, wie viele Lösungen das Gleichungssystem bestehend aus den Gleichungen $[1]$, $[2]$ und $[3]$ hat.

Zur Kontrolle

Im folgenden Applet ist das Lösungstupel aus Teilaufgabe (a) mit einem Punkt im 3D-Koordinatensystem veranschaulicht. Man sieht, dass dieser Punkte da liegt, wo sich die drei Ebenen schneiden. Im vorliegenden Fall gibt es keine weiteren Schnittpunkte der drei Ebenen und somit auch keine weiteren Lösungen des Gleichungssystems.

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Aufgabe 4

Im folgenden Applet kann man sich unterschiedliche Gleichungssysteme mit den zugehörigen Veranschaulichungen der Lösungen anschauen.

Zum Herunterladen: lgs33_mit_visualisierung_beispiele.ggb

(a) Wähle mit den Schaltflächen [a] ... [g] jeweils ein Gleichungssystem aus. Wie viele Lösungen hat das ausgewählte Gleichungssystem? Stelle eine Vermutung auf, wie viele Lösungen ein lineares Gleichungssystem mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen haben kann. Mit den Schiebereglern lassen sich die vorgegebenen Gleichungssysteme variieren. Ergeben sich hierdurch weitere Lösungsanzahlen?

(b) Gehe jetzt argumentativ vor.

Betrachte zunächst den Fall, dass nur $1$ lineare Gleichung mit $3$ Variablen gegeben ist. Im Applet kannst du das simulieren, indem du nur $1$ Gleichung einblendest. Verdeutliche anhand des Applets: Die Lösungen von $1$ linearen Gleichung mit $3$ Variablen bilden geometrisch betrachtet eine Ebene im 3D-Raum.

Jetzt kommt eine Gleichung hinzu. Im Applet kannst du das simulieren, indem du $2$ Gleichungen einblendest. Verdeutliche anhand der Beispiele, dass nur folgende Schnittgebilde bei der Veranschaulichung der Lösungen möglich sind: eine Gerade oder die leere Menge oder die gesamte Ebene.

Eine weitere Gleichung kommt hinzu. Im Applet kannst du das simulieren, indem du jetzt $3$ Gleichungen einblendest. Gehe von den Schnittgebilden bei $2$ Gleichungen aus und untersuche, welche Schnittgebilde bei $3$ Gleichungen entstehen können.

Kläre mit den Vorüberlegungen oben, wie viele Lösungen ein Gleichungssystem mit $3$ linearen Gleichungen und $3$ Variablen haben kann.

(c) Was ändert sich an der Anzahl der Lösungen, wenn man weitere Gleichungen mit $3$ Variablen dazunimmt? Begründe.

(d) Formuliere das Ergebnis im folgenden Satz.