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Einstieg

Zur Orientierung

Im Erkundungskapitel hast du bereits mehrfach lineare Gleichungssysteme mit Hilfe eines LGS-Umformungstools gelöst. In diesem Kapitel werden wir das dabei benutzte Verfahren genauer untersuchen.

Das LGS-Löseverfahren beschreiben

Das im Erkundungskapitel eingeführte Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen wird nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß auch Gauß-Verfahren oder Gaußsches-Eliminationsverfahren genannt.

Gauß-Verfahren

Man löst ein vorgegebenes LGS in Rechteckform, indem man es mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in ein LGS in Stufenform umzuwandelt. Das LGS in Stufenform wird dann schrittweise nach den verbliebenen Variablen rückwärts aufgelöst.

Folgende Umformungen eines LGS sind Äquivalenzumformungen:

  • eine Gleichung mit einer anderen vertauschen
  • eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren
  • zu einer Gleichung eine andere Gleichung hinzuaddieren
  • zu einer Gleichung eine andere Gleichung multipliziert mit einer reellen Zahl ungleich 0 hinzuaddieren

Das folgende Beispiel verdeutlicht das Vorgehen beim Gauß-Verfahren.

Beispiel - Gauß-verfahren

Gegeben: LGS

[1]12x2+4x3=−4[2]3x1+6x2+(−3)x3=0[3]4x1+(−4)x2+(−6)x3=8

Gesucht: Lösung des LGS

Phase 1: Das LGS in Stufenform umwandeln

In der Übersicht werden die Umformungsschritte in der Gleichungform und in der abkürzenden Tabellenform dargestellt.

GleichungenTabelle
vorgegebenes LGS [1]12x2+4x3=−4[2]3x1+6x2+(−3)x3=0[3]4x1+(−4)x2+(−6)x3=8 [1]0124−4[2]36−30[3]4−4−68
Äquivalenzumformung [1]↔[2] [1]↔[2]
transformiertes LGS [1]3x1+6x2+(−3)x3=0[2]12x2+4x3=−4[3]4x1+(−4)x2+(−6)x3=8 [1]36−30[2]0124−4[3]4−4−68
Äquivalenzumformung [1]←[1]⋅1/3 [1]←[1]⋅1/3
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]12x2+4x3=−4[3]4x1+(−4)x2+(−6)x3=8 [1]12−10[2]0124−4[3]4−4−68
Äquivalenzumformung [3]←[3]+(−4)⋅[1] [3]←[3]+(−4)⋅[1]
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]12x2+4x3=−4[3](−12)x2+(−2)x3=8 [1]12−10[2]0124−4[3]0−12−28
Äquivalenzumformung [3]←[3]+[2] [3]←[3]+[2]
LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]12x2+4x3=−4[3]2x3=4 [1]12−10[2]0124−4[3]0024

Phase 2: Variablenwerte durch Rückwärtsauflösen bestimmen

GleichungenTabelle
LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]12x2+4x3=−4[3]2x3=4 [1]12−10[2]0124−4[3]0024
Umformungen rückwärts auflösen
Lösung des LGS [3]x3=2[2]x2=−1[1]x1=4

Aufgabe 1

Beschreibe die benutzte Strategie zum Lösen des LGS. Beschreibe hierzu, was man in den beiden Phasen bezweckt.

Zur Orientierung

Ziel der folgenden Abschnitte ist es, das Gauß-Verfahren weiter zu verfeinert.

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