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Zusammenfassung - Das Gauß-Verfahren

Die Grundidee

Beim Lösen von (komplizierten) linearen Gleichungssystemen ist es günstig, wenn man eine klare Stategie verfolgt.

Strategie zum Lösen eines LGS

Zum Lösen eines LGS in Rechteckform formt man es in ein äquivalentes LGS in Stufenform um. Die Lösung des LGS lässt sich dann stufenweise durch Auflösen nach den Variablen bestimmen.

Strukturmuster des LGSBeschreibung
[∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗] LGS in Rechteckform
↓Äquivalenzumformungen
[∗∗∗∗0∗∗∗00∗∗] LGS in Stufenform
↓Auflösen nach den Variablen
(x1;x2;x3)=(…;…;…) Lösung(en)

In der Übersicht werden folgende Symbole zur Strukturbeschreibung benutzt:

  • Ein ∗ steht hier für eine beliebige Zahl (die auch die Zahl 0 sein kann).
  • Die 0 für die (gesichert vorliegende) Zahl 0.

Umformung eines linearen Gleichungssystems

Wenn man ein LGS umformt, dann darf sich die Lösungsmenge bei der Umformung nicht verändern. Solche Umformungen nennt man Äquivalenzumformungen.

Gauß-Verfahren

Man löst ein vorgegebenes LGS in Rechteckform, indem man es mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in ein LGS in Stufenform umzuwandelt. Das LGS in Stufenform wird dann schrittweise nach den verbliebenen Variablen rückwärts aufgelöst.

Folgende Umformungen eines LGS sind Äquivalenzumformungen:

  • eine Gleichung mit einer anderen vertauschen
  • eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren
  • zu einer Gleichung eine andere Gleichung hinzuaddieren
  • zu einer Gleichung eine andere Gleichung multipliziert mit einer reellen Zahl ungleich 0 hinzuaddieren

Das folgende Beispiel verdeutlicht das Vorgehen beim Gauß-Verfahren.

Beispiel - Gauß-verfahren

Gegeben: LGS

[1]12x2+4x3=−4[2]3x1+6x2+(−3)x3=0[3]4x1+(−4)x2+(−6)x3=8

Gesucht: Lösung des LGS

Phase 1: Das LGS in Stufenform umwandeln

In der Übersicht werden die Umformungsschritte in der Gleichungform und in einer abkürzenden Tabellenform dargestellt.

GleichungenTabelle
vorgegebenes LGS [1]12x2+4x3=−4[2]3x1+6x2+(−3)x3=0[3]4x1+(−4)x2+(−6)x3=8 [1]0124−4[2]36−30[3]4−4−68
Äquivalenzumformung [1]↔[2] [1]↔[2]
transformiertes LGS [1]3x1+6x2+(−3)x3=0[2]12x2+4x3=−4[3]4x1+(−4)x2+(−6)x3=8 [1]36−30[2]0124−4[3]4−4−68
Äquivalenzumformung [1]←[1]⋅1/3 [1]←[1]⋅1/3
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]12x2+4x3=−4[3]4x1+(−4)x2+(−6)x3=8 [1]12−10[2]0124−4[3]4−4−68
Äquivalenzumformung [3]←[3]+(−4)⋅[1] [3]←[3]+(−4)⋅[1]
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]12x2+4x3=−4[3](−12)x2+(−2)x3=8 [1]12−10[2]0124−4[3]0−12−28
Äquivalenzumformung [3]←[3]+[2] [3]←[3]+[2]
LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]12x2+4x3=−4[3]2x3=4 [1]12−10[2]0124−4[3]0024

Phase 2: Variablenwerte durch Rückwärtsauflösen bestimmen

GleichungenTabelle
LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(−1)x3=0[2]12x2+4x3=−4[3]2x3=4 [1]12−10[2]0124−4[3]0024
Umformungen rückwärts auflösen
Lösung des LGS [3]x3=2[2]x2=−1[1]x1=4

Lösungsmengen beim Gauß-Verfahren

Ein LGS kann genau eine Lösung, keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben. Wie zeigt sich das bei der Durchführung des Gaußverfahrens? Wir verdeutlichen das anhand typischer Beispiele.

Situation A

Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.

LGS [1]x1−x2−x3=1[2]2x1−x2−3x3=1[3]x1+x2−2x3=1 [1]1−1−11[2]2−1−31[3]11−21
Äquivalenzumformungen [2]←[2]+[1]⋅(−2)
[3]←[3]+[1]⋅(−1)
[3]←[3]+[2]⋅(−2) 		[2]←[2]+[1]⋅(−2)
[3]←[3]+[1]⋅(−1)
[3]←[3]+[2]⋅(−2)
LGS ist Stufenform [1]x1−x2−x3=1[2]x2−x3=−1[3]x3=2 [1]1−1−11[2]01−1−1[3]0012

Im vorliegenden Beispiel hat das LGS genau eine Lösung:

(x1;x2;x3)=(4;1;2)

Situation B

Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.

LGS [1]x1−x2−x3=2[2]2x1−x2−3x3=−1[3]x1+x2−3x3=3 [1]1−1−12[2]2−1−3−1[3]11−33
Äquivalenzumformungen [2]←[2]+[1]⋅(−2)
[3]←[3]+[1]⋅(−1)
[3]←[3]+[2]⋅(−2) 		[2]←[2]+[1]⋅(−2)
[3]←[3]+[1]⋅(−1)
[3]←[3]+[2]⋅(−2)
LGS ist Stufenform [1]x1−x2−x3=2[2]x2−x3=−5[3]0=11 [1]1−1−12[2]01−1−5[3]00011

In der Stufenform tritt die Gleichung 0⋅x3=11 auf. Diese Gleichung ist nicht erfüllbar. Das LGS hat daher keine Lösungen.

Situation C

Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.

LGS [1]x1−x2−x3=1[2]2x1−x2−3x3=1[3]x1+x2−3x3=−1 [1]1−1−11[2]2−1−31[3]11−3−1
Äquivalenzumformungen [2]←[2]+[1]⋅(−2)
[3]←[3]+[1]⋅(−1)
[3]←[3]+[2]⋅(−2) 		[2]←[2]+[1]⋅(−2)
[3]←[3]+[1]⋅(−1)
[3]←[3]+[2]⋅(−2)
LGS ist Stufenform [1]x1−x2−x3=1[2]x2−x3=−1[3]0=0 [1]1−1−11[2]01−1−1[3]0000

In der Stufenform tritt die Gleichung 0⋅x3=0 auf. Diese Gleichung kann man mit jeder beliebigen Zahl für x3 erfüllen. Wir verwenden den Parameter r zur Beschreibung dieses Sachverhalts: x3=r (wobei r für eine beliebige reelle Zahl steht).

Durch Einsetzen von x3=r in die Gleichung x2−x3=−1 und Auflösen nach x2 erhält man x2=r−1.

Durch Einsetzen von x3=r und x2=r−1 in die Gleichung x1−x2−x3=1 und Auflösen nach x1 erhält man x1=2r.

Ingesamt erhält man somit die folgende Beschreibung der unendlich vielen Lösungen des LGS:

(x1;x2;x3)=(2r;r−1;r) (mit einer reellen Zahl r)

Situation D

Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.

LGS [1]x1−x2−x3=1[2]2x1−2x2−2x3=2[3]−x1+x2+x3=−1 [1]1−1−11[2]2−2−22[3]−111−1
Äquivalenzumformungen [2]←[2]+[1]⋅(−2)
[3]←[3]+[1] 		[2]←[2]+[1]⋅(−2)
[3]←[3]+[1]
LGS ist Stufenform [1]x1−x2−x3=1[2]0=0[3]0=0 [1]1−1−11[2]0000[3]0000

Die Gleichungen 0⋅x2=0 und 0⋅x3=0 können mit beliebigen Zahlen für x2 und x3 erfüllt werden.

Die unendlich vielen Lösungen des LGS lassen sich mit Hilfe von zwei Parametern beschreiben:

(x1;x2;x3)=(s+r+1;s;r) (mit reellen Zahlen r und s)

Die Beispiele verdeutlichen, dass man die Anzahl der Lösungen eines LGS direkt anhand der erreichten Stufenform beim Gauß-Verfahren ablesen kann.

Lösungsmengen beim Gauß-Verfahren

Man kann die Anzahl der Lösungen eines LGS mit dem Gauß-Verfahren ermitteln. Man muss hierzu nur das Strukturmuster des LGS in Stufenform analysieren.

Strukturmuster des LGSAnzahl der Lösungen
[u∗∗∗0u∗∗00u∗] genau eine Lösung
[u∗∗∗0u∗∗000u] keine Lösungen
[u∗∗∗0u∗∗0000] unendlich viele Lösungen;
Beschreibung mit einem Parameter
[u∗∗∗00000000] unendlich viele Lösungen;
Beschreibung mit zwei Parametern

Zur Beschreibung der Strukturmuster verwenden wir folgende Abkürzungen.

  • Ein ∗ steht hier für eine beliebige Zahl (die auch die Zahl 0 sein kann).
  • Die 0 für die (gesichert vorliegende) Zahl 0.
  • Das u für eine (gesichert vorliegende) Zahl ungleich 0.
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