Erarbeitung

Situation A

Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.

LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& -& x_2& -& x_3& =& 1\\ [2]& 2x_1& -& x_2& -& 3x_3& =& 1\\ [3]& x_1& +& x_2& -& 2x_3& =& 1\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 1\\ [2]& 2& -1& -3& 1\\ [3]& 1& 1& -2& 1\end{array}$
Äquivalenzumformungen	$[2]\leftarrow [2]+[1]\cdot (-2)$ $[3]\leftarrow [3]+[1]\cdot (-1)$ $[3]\leftarrow [3]+[2]\cdot (-2)$	$[2]\leftarrow [2]+[1]\cdot (-2)$ $[3]\leftarrow [3]+[1]\cdot (-1)$ $[3]\leftarrow [3]+[2]\cdot (-2)$
LGS ist Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& -& x_2& -& x_3& =& 1\\ [2]& & & x_2& -& x_3& =& -1\\ [3]& & & & & x_3& =& 2\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 1\\ [2]& 0& 1& -1& -1\\ [3]& 0& 0& 1& 2\end{array}$

Aufgabe 1

Das ist eine Situation, die bereits mehrfach vorgekommen ist. Bestimme die Lösung des LGS durch Rückwärtsauflösen.

Situation B

Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.

LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& -& x_2& -& x_3& =& 2\\ [2]& 2x_1& -& x_2& -& 3x_3& =& -1\\ [3]& x_1& +& x_2& -& 3x_3& =& 3\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 2\\ [2]& 2& -1& -3& -1\\ [3]& 1& 1& -3& 3\end{array}$
Äquivalenzumformungen	$[2]\leftarrow [2]+[1]\cdot (-2)$ $[3]\leftarrow [3]+[1]\cdot (-1)$ $[3]\leftarrow [3]+[2]\cdot (-2)$	$[2]\leftarrow [2]+[1]\cdot (-2)$ $[3]\leftarrow [3]+[1]\cdot (-1)$ $[3]\leftarrow [3]+[2]\cdot (-2)$
LGS ist Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& -& x_2& -& x_3& =& 2\\ [2]& & & x_2& -& x_3& =& -5\\ [3]& & & & & 0& =& 11\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 2\\ [2]& 0& 1& -1& -5\\ [3]& 0& 0& 0& 11\end{array}$

Aufgabe 2

In der Stufenform tritt die Gleichung $0\cdot x_3=11$ auf. Erläutere, was man aus dieser Gleichung über die Lösungsmenge des LGS erschließen kann.

Situation C

Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.

LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& -& x_2& -& x_3& =& 1\\ [2]& 2x_1& -& x_2& -& 3x_3& =& 1\\ [3]& x_1& +& x_2& -& 3x_3& =& -1\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 1\\ [2]& 2& -1& -3& 1\\ [3]& 1& 1& -3& -1\end{array}$
Äquivalenzumformungen	$[2]\leftarrow [2]+[1]\cdot (-2)$ $[3]\leftarrow [3]+[1]\cdot (-1)$ $[3]\leftarrow [3]+[2]\cdot (-2)$	$[2]\leftarrow [2]+[1]\cdot (-2)$ $[3]\leftarrow [3]+[1]\cdot (-1)$ $[3]\leftarrow [3]+[2]\cdot (-2)$
LGS ist Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& -& x_2& -& x_3& =& 1\\ [2]& & & x_2& -& x_3& =& -1\\ [3]& & & & & 0& =& 0\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 1\\ [2]& 0& 1& -1& -1\\ [3]& 0& 0& 0& 0\end{array}$

Aufgabe 3

In der Stufenform tritt die Gleichung $0\cdot x_3=0$ auf. Warum kann man für $x_3$ hier eine beliebige reelle Zahl $r$ einsetzen? Was bedeutet das für die Anzahl der Lösungen des LGS? Benutze den Parameter $r$, um die Lösungen des LGS zu beschreiben.

LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& -& x_2& -& x_3& =& 1\\ [2]& & & x_2& -& x_3& =& -1\\ [3]& & & & & 0& =& 0\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 1\\ [2]& 0& 1& -1& -1\\ [3]& 0& 0& 0& 0\end{array}$
Umformungen	rückwärts auflösen
Lösung des LGS	$\begin{array}{lrcrc}[3]& & x_3& =& r\\ [2]& & x_2& =& \dots \\ [1]& & x_1& =& \dots \end{array}$

Situation D

Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.

LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& -& x_2& -& x_3& =& 1\\ [2]& 2x_1& -& 2x_2& -& 2x_3& =& 2\\ [3]& -x_1& +& x_2& +& x_3& =& -1\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 1\\ [2]& 2& -2& -2& 2\\ [3]& -1& 1& 1& -1\end{array}$
Äquivalenzumformungen	$[2]\leftarrow [2]+[1]\cdot (-2)$ $[3]\leftarrow [3]+[1]$	$[2]\leftarrow [2]+[1]\cdot (-2)$ $[3]\leftarrow [3]+[1]$
LGS ist Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& -& x_2& -& x_3& =& 1\\ [2]& & & & & 0& =& 0\\ [3]& & & & & 0& =& 0\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 1\\ [2]& 0& 0& 0& 0\\ [3]& 0& 0& 0& 0\end{array}$

Aufgabe 4

In der Stufenform treten die Gleichungen $0\cdot x_2=0$ und $0\cdot x_3=0$ auf. Was bedeutet das für die Anzahl der Lösungen des LGS? Benutze die Parameter $r$ und $s$, um die Lösungen des LGS zu beschreiben.

LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& -& x_2& -& x_3& =& 1\\ [2]& & & & & 0& =& 0\\ [3]& & & & & 0& =& 0\end{array}$	$\begin{array}{lrrrr}[1]& 1& -1& -1& 1\\ [2]& 0& 0& 0& 0\\ [3]& 0& 0& 0& 0\end{array}$
Umformungen	rückwärts auflösen
Lösung des LGS	$\begin{array}{lrcrc}[3]& & x_3& =& r\\ [2]& & x_2& =& s\\ [1]& & x_1& =& \dots \end{array}$

Situationen beim Gauß-Verfahren analysieren

Die Anzahl der Lösungen eines LGS kan man direkt anhand der erreichten Stufenform beim Gauß-Verfahren ablesen. Es ergeben sich typische Strukturmuster.

• Ein $\ast$ steht hier für eine beliebige Zahl (die auch die Zahl $0$ sein kann).
• Die $0$ für die (gesichert vorliegende) Zahl $0$.
• Das $u$ für eine (gesichert vorliegende) Zahl ungleich $0$.

Strukturmuster des LGS	Anzahl der Lösungen
$\left[\begin{array}{cccc}u& \ast & \ast & \ast \\ 0& u& \ast & \ast \\ 0& 0& u& \ast \end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{cccc}u& \ast & \ast & \ast \\ 0& u& \ast & \ast \\ 0& 0& 0& u\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{cccc}u& \ast & \ast & \ast \\ 0& u& \ast & \ast \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{cccc}u& \ast & \ast & \ast \\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Aufgabe 5

Ergänze in der Übersicht, wie viele Lösungen das LGS hat, wenn das jeweilige Strukturmuster erreicht wird. Begründe kurz. Erläutere das folgende Ergebnis.