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Übungen - Das Gauß-Verfahren

Zur Orientierung

Bearbeite die Übungen zunächst ohne die Hilfe des LGS-Umformungstools. Benutze das LGS-Umformungstools unten zur Kontrolle und gegebenenfalls bei der Fehlersuche.

LGS-Umformungstool

Aufgabe 1

Löse die linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren.

(a)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 2 x_{3} & = & - 12 \\ [2] & 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 2 x_{3} & = & - 14 \\ [3] & - x_{1} & + & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 17 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 6 \\ [2] & 2 x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & = & 3 \\ [3] & 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & x_{3} & = & 2 \end{array}$

(c)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 2 x_{1} & + & 2 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 0 \\ [2] & 3 x_{1} & - & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ [3] & 4 x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \end{array}$

(d)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 3 x_{1} & + & 6 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & - 4 \\ [2] & 3 x_{1} & + & 2 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ [3] & 6 x_{1} & + & 20 x_{2} & - & 20 x_{3} & = & - 36 \end{array}$

Aufgabe 2

Führe die angegebenen Umformungsschritte aus. Vergleiche die beiden Vorgehensweisen. Bestimme in beiden Varianten die Lösung.

Variante 1:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 3 x_{1} & + & 4 x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ [2] & 2 x_{1} & - & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 2 \\ [3] & - 4 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 3 \end{array}$

$[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot (- 3)$

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \\ [3] & \dots \end{array}$

$[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot 3$

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \\ [3] & \dots \end{array}$

Variante 2:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 3 x_{1} & + & 4 x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ [2] & 2 x_{1} & - & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 2 \\ [3] & - 4 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 3 \end{array}$

$[1] \leftarrow [1] + [2] \cdot 4$

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \\ [3] & \dots \end{array}$

$[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot (- 8)$

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \\ [3] & \dots \end{array}$

Aufgabe 3

Löse mit dem Gauß-Verfahren auf zwei verschiedene Arten. Gehe geschickt vor. Dokumentiere alle Berechnungsschritte.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 3 x & - & 6 y & + & 12 z & = & - 21 \\ [2] & 3 x & - & 5 y & + & 2 z & = & - 27 \\ [3] & 2 x & + & y & - & 2 z & = & - 4 \end{array}$

Aufgabe 4 (für Experten)

Löse die linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren.

(a)

$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] & 2 x_{1} & - & x_{2} & + & 3 x_{3} & + & 2 x_{4} & = & - 5 \\ [2] & - 6 x_{1} & - & 3 x_{2} & - & 7 x_{3} & - & 2 x_{4} & = & 5 \\ [3] & 4 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 5 x_{3} & - & 5 x_{4} & = & 13 \\ [4] & 4 x_{1} & + & x_{2} & + & 3 x_{3} & + & x_{4} & = & - 4 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] & 3 x_{1} & + & 4 x_{2} & - & 5 x_{3} & + & 6 x_{4} & = & 39 \\ [2] & 12 x_{1} & + & 10 x_{2} & - & 12 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 86 \\ [3] & 9 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 3 x_{4} & = & 6 \\ [4] & 2 x_{2} & - & 3 x_{3} & + & x_{4} & = & 13 \end{array}$

Aufgabe 5

Benutze Äquivalenzumformungen um das LGS in Stufenform in ein LGS in Diagonalform zu transformieren. Bestimme so die Lösung des LGS.

	Gleichungen	Tabelle
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ [2] & 2 x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \\ [3] & - x_{3} & = & 2 \end{array}$	$\begin{array}{lrrrr} [1] & 1 & 1 & 1 & 0 \\ [2] & 0 & 2 & 1 & 4 \\ [3] & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{array}$
Auflösen nach $x_{3}$	$[3] \leftarrow [3] \cdot (- 1)$	$[3] \leftarrow [3] \cdot (- 1)$
transformiertes LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \\ [3] & \dots \end{array}$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & \dots \\ [2] & \dots \\ [3] & \dots \end{array}$
...
Lösung des LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & = & \dots \\ [2] & x_{2} & = & \dots \\ [3] & x_{3} & = & \dots \end{array}$	$\begin{array}{lrrrr} [1] & 1 & 0 & 0 & \dots \\ [2] & 0 & 1 & 0 & \dots \\ [3] & 0 & 0 & 1 & \dots \end{array}$

Aufgabe 6

Bestimme die Lösungen der folgenden linearen Gleichungssysteme. Benutze ggf. Parameter zur Beschreibung der Lösungen

(a)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 2 x_{3} & = & 2 \\ [2] & x_{2} & + & 2 x_{3} & = & 2 \\ [3] & 0 & = & 0 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 6 \\ [2] & 0 & = & 3 \\ [3] & 2 x_{2} & + & x_{3} & = & 2 \end{array}$

(c)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 2 x_{1} & + & 2 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 0 \\ [2] & 0 & = & 0 \\ [3] & 0 & = & 0 \end{array}$

(d)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & + & x_{2} & - & x_{3} & = & - 3 \\ [2] & 0 & = & 0 \\ [3] & x_{2} & - & x_{3} & = & - 3 \end{array}$

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