Strukturierung – Rekonstruktion eines Bestandes

Zur Orientierung

Im letzten Kapitel hast du dich mit der Rekonstruktion von Beständen beschäftigt. Wir lösen uns hier von den konkreten Kontexten und beschreiben ganz allgemein die Problemstellung sowie das zur Lösung benutzte Verfahren bei der Rekonstruktion von Beständen.

Einstieg – das Problem präzisieren

Wir betrachten folgende Situation:

Aufgabe 1

Erläutere die obigen Fachbegriffe anhand der unten stehenden Beispiele. Erläutere dabei insbesondere, wie der Bestand aus der gegebenen lokalen Änderungsrate rekonstruiert wird.

1. Wasserstand eines Stausees.
2. Einnahmen und Ausgaben eines Unternehmens (Cashflow).
3. Zurückgelegte Strecke eines Schiffs herausfinden.
4. Dokumentation der Aufnahme von Schüler:innen sowie das Verlassen von Schüler:innen einer Schule.
5. Kenntnisse der Medikamenteneinnahme und Schnelligkeit des Abbaus beim Menschen.

Erarbeitung – Einen einfachen Fall betrachten

Im einfachen Fall wird die Änderungsrate mit einer Treppenfunktion beschrieben. Treppenfunktionen sind abschnittsweise konstant.

Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren1.ggb

Betrachte als Beispiel die im Applet vorgegebene Funktion der lokalen Änderungsraten $B^{\prime }$ mit dem Funktionsterm:

Für die Rekonstruktion der Bestandsfunktion $B$ aus den lokalen Änderungsraten muss zunächst der Ausgangsbestandswert gegeben sein.

Voraussetzung: Die Bestandsrekonstruktion startet bei $x=0$ mit $B(0)=0$.

Aufgabe 2 (★)

(a) Bestimme den Bestandswert $B(6)$ der obigen Bestandsfunktion $B$ des Applets.

$B(6)=2\cdot 2+\cdots =\dots$

(b) Bestimme den Bestandswert $B(6)$ der obigen Bestandsfunktion $B$ des Applets. Erläutere deine Rechnung.

Mögliche Merksätze:

• „Funktionswert mal Schrittweite“
• „Stufenhöhe mal Stufenbreite“
• „Stärke der Änderung mal Dauer der Änderung“
• „Zuflussrate mal Dauer des Zuflusses“

Vertiefung – Beliebige Funktionen betrachten

Schwieriger ist die Rekonstruktion, wenn die lokale Änderungsrate mit einer Funktion beschrieben wird, die keine Treppenfunktion ist.

Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren2.ggb

In diesem Fall lässt sich die Funktion der lokalen Änderungsraten $B^{\prime }$ mit einer Treppenfunktion annähern. Im Beispiel des Applets wird eine grobe Annäherung mit einer Intervallbreite bzw. Stufenbreite $1$ betrachtet. Die Treppenstufen sind so gewählt, dass deren Mitte den Funktionsgraphen von $B^{\prime }$ trifft. Hier wird die Treppenfunktion $T$ durch den folgenden Term beschrieben:

Das Verfahren der Treppenfunktionen dient zur Bestimmung von Näherungswerten für die Bestandsrekonstruktion.

Voraussetzung: Die Bestandsrekonstruktion startet bei $x=0$ mit $B(0)=0$.

Aufgabe 3 (★★)

Bestimme näherungsweise den Bestandswert $B(5)$ der Bestandsfunktion $B$ aus dem Applet mit Hilfe der vorgegebenen Treppenfunktion $T$. Kontrolliere mit Hilfe des Applets.

$B(5)\approx 0.69\cdot 1+\cdots =\dots$

Aufgabe 4 (★★★)

Erkläre anhand des folgenden Applets: Wie ist der Zusammenhang zwischen der Intervallbreite und der Annäherung?

Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren3.ggb

Zusammenfassung

Die Erkenntnisse des Kapitels werden durch die folgende Aufgabe gefestigt.

Aufgabe 5 (Sicherung)

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