Strukturierung - Rekonstruktion eines Bestandes
Das Problem präzisieren
Wir betrachten folgende Situation:
Gegeben ist eine Funktion $B'(x)$, die die lokale Änderungsrate eines Bestandes beschreibt. Die lokale Änderungsrate beschreibt, um welchen Betrag sich der Bestand pro Zeiteinheit bzw. pro Schrittweite ändert.
Gesucht ist eine Funktion $B(x)$, die die Entwicklung des Bestandes erfasst. Mit $B(x)$ wird dabei die Gesamtmenge des Bestandes erfasst.
Man sagt dazu: Man rekonstruiert den Bestand. Dieses Rekonstruieren nennt man auch Integrieren.
Aufgabe 1
Verdeutliche die Fachbegriffe von oben anhand der folgenden konkreten Beispiele. Überlege dir jeweils: Was ist hier der Bestand? Was ist die Änderungsrate? Wie kann man aus der Änderungsrate den Bestand rekonstruieren? Warum sollte man das tun?
- Wir interessieren uns für den Wasserstand eines Stausees.
- Wir beobachten die Einnahmen und Ausgaben eines Unternehmens, also den Cashflow.
- Wir wollen die zurückgelegte Strecke eines Schiffs herausfinden.
- Wir dokumentieren immer, wenn ein neuer Schüler in der Schule aufgenommen wird oder ein Schüler die Sschule verlässt.
- Wir wissen, wie viel Medikamente eine Person einnimmt und wie schnell sie abgebaut werden.
Treppenfunktionen betrachten
Im einfachen Fall wird die Änderungsrate mit einer Treppenfunktion beschrieben - die Änderungsratenfunktion ist abschnittweise konstant.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren1.ggb
Betrachte als Beispiel die in der Animation vorgegebene Änderungsratenfunktion:
$B'(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 2 & \textrm{ falls } & 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \textrm{ falls } & 2 \text{ < } x \leq 3 \\ -1.5 & \textrm{ falls } & 3 \text{ < } x \leq 5 \\ 1 & \textrm{ falls } & 5 \text{ < } x \leq 7 \end{array} \right. $
Wenn man die Bestandsfunktion $B(x)$ aus den Änderungsraten rekonstruieren möchte, muss zunächst der Ausgangsbestandswert gegeben sein. Wir treffen hier folgende Vereinbarung:
Voraussetzung: Die Bestandsrekonstruktion startet bei $t = 0$ mit $B(0) = 0$.
Aufgabe 2
Bestimme exemplarisch den Bestandswert $B(6)$.
$B(6) = 2 \cdot 2 + ... = ...$
Aufgabe 3
(a) Erläutere: Die Bestandswerte lassen sich mit Hilfe von Produktsummen bestimmen:
$B(6) = \underbrace{2}_{\text{Änderungsrate}} \cdot \underbrace{2}_{\text{Intervallbreite}} + ...$
(b) Erläutere: Die Produktsummen können als orientierte Flächeninhalte gedeutet werden. Flächeninhalte von Flächen oberhalb der $x$-Achse werden dabei positiv gezählt, Flächeninhalte von Flächen unterhalb der $x$-Achse negativ.
(c) Es gibt verschiedene Merksprüche für den Aufbau der Produktsumme. Suche dir einen aus und merke ihn dir:
- „Funktionswert mal Schrittweite“
- „Stufenhöhe mal Stufenbreite“
- „Stärke der Änderung mal Dauer der Änderung“
- „Zuflussrate mal Dauer des Zuflusses“
Beliebige Funktionen betrachten
Schwieriger ist die Rekonstruktion, wenn die Änderungsrate mit einer Funktion beschrieben wird, die keine Treppenfunktion ist.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren2.ggb
Im diesem Fall lässt sich die Änderungsratenfunktion mit einer Treppenfunktion annähern. Im Beispiel in der Animation wird eine recht grobe Annäherung mit einer Stufenbreite $1$ betrachtet. Die Treppenstufen sind so gewählt, dass sie die jeweilige Mitte der Änderungsratenfunktion treffen.
$T(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0.69 & \textrm{ falls } & 0 \leq x \leq 1 \\ 1.01 & \textrm{ falls } & 1 \text{ < } x \leq 2 \\ 0.44 & \textrm{ falls } & 2 \text{ < } x \leq 3 \\ -0.44 & \textrm{ falls } & 3 \text{ < } x \leq 4 \\ -1.01 & \textrm{ falls } & 4 \text{ < } x \leq 5 \\ -0.69 & \textrm{ falls } & 5 \text{ < } x \leq 6 \\ 1.14 & \textrm{ falls } & 6 \text{ < } x \leq 7 \end{array} \right. $
Das Verfahren für Treppenfunktionen lässt sich jetzt anwenden, um zumindest Näherungswerte für die Bestandsrekonstruktion zu gewinnen.
Wir treffen wieder folgende Vereinbarung:
Voraussetzung: Die Bestandsrekonstruktion startet bei $t = 0$ mit $B(0) = 0$.
Aufgabe 4
Schätze exemplarisch den Bestandswert $B(5)$ mit Hilfe der vorgegebenen Treppenfunktion ab. Kontrolliere mit Hilfe der Animation.
$B(5) \approx 0.69 \cdot 1 + ... = ...$
Aufgabe 5
Erkläre anhand der folgenden Animation: Wie ist der Zusammenhang zwischen Intervallbreite und der Annäherung?
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren3.ggb
Zusammenfassung
Aufgabe 6
(a) Bearbeite diese LearningApp:
(b) Fülle den Wissensspeicher aus.
