Strukturierung – Rekonstruktion eines Bestandes
Problem präzisieren
Wir betrachten folgende Situation:
Gegeben ist eine Funktion $B'$, die die lokalen Änderungsraten eines Bestandes beschreibt. Die lokale Änderungsrate gibt an, um welchen Wert sich der Bestand pro Zeiteinheit bzw. pro Schrittweite ändert.
Gesucht ist eine Funktion $B$, die den Bestand erfasst. $B(x)$ gibt dabei die Menge des Bestandes zum Zeitpunkt $x$ an.
Sprechweise: Der Bestand wird rekonstruiert. Dieses Rekonstruieren wird Integrieren genannt.
Aufgabe 1 (Einstieg)
Erläutere die obigen Fachbegriffe anhand der unten stehenden Beispiele. Erläutere dabei insbesondere, wie der Bestand aus der gegebenen lokalen Änderungsrate rekonstruiert wird.
- Wasserstand eines Stausees.
- Einnahmen und Ausgaben eines Unternehmens (Cashflow).
- Zurückgelegte Strecke eines Schiffs herausfinden.
- Dokumentation der Aufnahme von Schüler:innen sowie das Verlassen von Schüler:innen einer Schule.
- Kenntnisse der Medikamenteneinnahme und Schnelligkeit des Abbaus beim Menschen.
Treppenfunktionen betrachten
Im einfachen Fall wird die Änderungsrate mit einer Treppenfunktion beschrieben. Treppenfunktionen sind abschnittsweise konstant.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren1.ggb
Betrachte als Beispiel die im Applet vorgegebene Funktion der lokalen Änderungsraten $B'$ mit dem Funktionsterm:
$B'(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 2 & \textrm{ falls } & 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \textrm{ falls } & 2 \text{ < } x \leq 3 \\ -1.5 & \textrm{ falls } & 3 \text{ < } x \leq 5 \\ 1 & \textrm{ falls } & 5 \text{ < } x \leq 7 \end{array} \right. $
Für die Rekonstruktion der Bestandsfunktion $B$ aus den lokalen Änderungsraten, muss zunächst der Ausgangsbestandswert gegeben sein.
Voraussetzung: Die Bestandsrekonstruktion startet bei $x = 0$ mit $B(0) = 0$.
Aufgabe 2 (Erarbeitung) ★
(a) Bestimme den Bestandswert $B(6)$ der obigen Bestandsfunktion $B$ des Applets.
$B(6) = 2 \cdot 2 + \dots = \dots$
(b) Bestimme den Bestandswert $B(6)$ der obigen Bestandsfunktion $B$ des Applets. Erläutere deine Rechnung.
Die Bestandswerte $B(x)$ lassen sich mit Hilfe von Produktsummen bestimmen:
$B(x) = \underbrace{h_1}_{\text{Änderungsrate im ersten Intervall}} \cdot \underbrace{b_1}_{\text{Intervallbreite des ersten Intervalls}} + ...$
Die Produktsummen können als orientierte Flächeninhalte gedeutet werden. Flächeninhalte von Flächen oberhalb der $x$-Achse werden dabei addiert, Flächeninhalte von Flächen unterhalb der $x$-Achse subtrahiert.
Mögliche Merksätze:
- „Funktionswert mal Schrittweite“
- „Stufenhöhe mal Stufenbreite“
- „Stärke der Änderung mal Dauer der Änderung“
- „Zuflussrate mal Dauer des Zuflusses“
Beliebige Funktionen betrachten
Schwieriger ist die Rekonstruktion, wenn die lokale Änderungsrate mit einer Funktion beschrieben wird, die keine Treppenfunktion ist.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren2.ggb
In diesem Fall lässt sich die Funktion der lokalen Änderungsraten $B'$ mit einer Treppenfunktion annähern. Im Beispiel des Applets wird eine grobe Annäherung mit einer Intervallbreite bzw. Stufenbreite $1$ betrachtet. Die Treppenstufen sind so gewählt, dass deren Mitte den Funktionsgraphen von $B'$ trifft. Hier wird die Treppenfunktion $T$ durch den folgenden Term beschrieben:
$T(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0.69 & \textrm{ falls } & 0 \leq x \leq 1 \\ 1.01 & \textrm{ falls } & 1 \text{ < } x \leq 2 \\ 0.44 & \textrm{ falls } & 2 \text{ < } x \leq 3 \\ -0.44 & \textrm{ falls } & 3 \text{ < } x \leq 4 \\ -1.01 & \textrm{ falls } & 4 \text{ < } x \leq 5 \\ -0.69 & \textrm{ falls } & 5 \text{ < } x \leq 6 \\ 1.14 & \textrm{ falls } & 6 \text{ < } x \leq 7 \end{array} \right. $
Das Verfahren der Treppenfunktionen dient zur Bestimmung von Näherungswerten für die Bestandsrekonstruktion.
Voraussetzung: Die Bestandsrekonstruktion startet bei $x = 0$ mit $B(0) = 0$.
Aufgabe 3 (Erarbeitung) ★★
Bestimme näherungsweise den Bestandswert $B(5)$ der Bestandsfunktion $B$ aus dem Applet mit Hilfe der vorgegebenen Treppenfunktion $T$. Kontrolliere mit Hilfe des Applets.
$B(5) \approx 0.69 \cdot 1 + \dots = \dots$
Aufgabe 4 (Erarbeitung) ★★★
Erkläre anhand des folgenden Applets: Wie ist der Zusammenhang zwischen der Intervallbreite und der Annäherung?
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren3.ggb
Zusammenfassung
Die Erkenntnisse des Kapitels werden durch die folgende Aufgabe gefestigt.Aufgabe 5 (Sicherung)
(a) Bearbeite diese LearningApp:
(b) 🖊️ Fülle den Wissensspeicher aus.
