Strukturierung – Rekonstruktion eines Bestandes
Zur Orientierung
Im letzten Kapitel hast du dich mit der Rekonstruktion von Beständen beschäftigt. Wir lösen uns hier von den konkreten Kontexten und beschreiben ganz allgemein die Problemstellung sowie das zur Lösung benutzte Verfahren bei der Rekonstruktion von Beständen.
Einstieg – das Problem präzisieren
Wir betrachten folgende Situation:
Gegeben ist eine Funktion $B'$, die die lokalen Änderungsraten eines Bestandes beschreibt. Die lokale Änderungsrate gibt an, um welchen Wert sich der Bestand pro Zeiteinheit bzw. pro Schrittweite ändert.
Gesucht ist eine Funktion $B$, die den Bestand erfasst. $B(x)$ gibt dabei die Menge des Bestandes zum Zeitpunkt bzw. zum Ausgangswert $x$ an.
Sprechweise: Der Bestand wird rekonstruiert. Dieses Rekonstruieren wird Integrieren genannt.
Aufgabe 1
Erläutere die obigen Fachbegriffe anhand der unten stehenden Beispiele. Erläutere dabei insbesondere, wie der Bestand aus der gegebenen lokalen Änderungsrate rekonstruiert wird.
- Wasserstand eines Stausees.
- Einnahmen und Ausgaben eines Unternehmens (Cashflow).
- Zurückgelegte Strecke eines Schiffs herausfinden.
- Dokumentation der Aufnahme von Schüler:innen sowie das Verlassen von Schüler:innen einer Schule.
- Kenntnisse der Medikamenteneinnahme und Schnelligkeit des Abbaus beim Menschen.
Erarbeitung - einen einfachen Fall betrachten
Im einfachen Fall wird die Änderungsrate mit einer Treppenfunktion beschrieben. Treppenfunktionen sind abschnittsweise konstant.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren1.ggb
Betrachte als Beispiel die im Applet vorgegebene Funktion der lokalen Änderungsraten $B'$ mit dem Funktionsterm:
$B'(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 2 & \textrm{ falls } & 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \textrm{ falls } & 2 \text{ < } x \leq 3 \\ -1.5 & \textrm{ falls } & 3 \text{ < } x \leq 5 \\ 1 & \textrm{ falls } & 5 \text{ < } x \leq 7 \end{array} \right. $
Für die Rekonstruktion der Bestandsfunktion $B$ aus den lokalen Änderungsraten muss zunächst der Ausgangsbestandswert gegeben sein.
Voraussetzung: Die Bestandsrekonstruktion startet bei $x = 0$ mit $B(0) = 0$.
Aufgabe 2 (★)
(a) Bestimme den Bestandswert $B(6)$ der obigen Bestandsfunktion $B$ des Applets.
$B(6) = 2 \cdot 2 + \dots = \dots$
(b) Bestimme den Bestandswert $B(6)$ der obigen Bestandsfunktion $B$ des Applets. Erläutere deine Rechnung.
Die Bestandswerte $B(x)$ lassen sich mit Hilfe von Produktsummen bestimmen:
$B(x) = \underbrace{h_1}_{\text{Änderungsrate im ersten Intervall}} \cdot \underbrace{b_1}_{\text{Intervallbreite des ersten Intervalls}} + ...$
Die Produktsummen können als orientierte Flächeninhalte gedeutet werden. Flächeninhalte von Flächen oberhalb der $x$-Achse werden dabei addiert, Flächeninhalte von Flächen unterhalb der $x$-Achse subtrahiert.
Mögliche Merksätze:
- „Funktionswert mal Schrittweite“
- „Stufenhöhe mal Stufenbreite“
- „Stärke der Änderung mal Dauer der Änderung“
- „Zuflussrate mal Dauer des Zuflusses“
Vertiefung – beliebige Funktionen betrachten
Schwieriger ist die Rekonstruktion, wenn die lokale Änderungsrate mit einer Funktion beschrieben wird, die keine Treppenfunktion ist.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren2.ggb
In diesem Fall lässt sich die Funktion der lokalen Änderungsraten $B'$ mit einer Treppenfunktion annähern. Im Beispiel des Applets wird eine grobe Annäherung mit einer Intervallbreite bzw. Stufenbreite $1$ betrachtet. Die Treppenstufen sind so gewählt, dass deren Mitte den Funktionsgraphen von $B'$ trifft. Hier wird die Treppenfunktion $T$ durch den folgenden Term beschrieben:
$T(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0.69 & \textrm{ falls } & 0 \leq x \leq 1 \\ 1.01 & \textrm{ falls } & 1 \text{ < } x \leq 2 \\ 0.44 & \textrm{ falls } & 2 \text{ < } x \leq 3 \\ -0.44 & \textrm{ falls } & 3 \text{ < } x \leq 4 \\ -1.01 & \textrm{ falls } & 4 \text{ < } x \leq 5 \\ -0.69 & \textrm{ falls } & 5 \text{ < } x \leq 6 \\ 1.14 & \textrm{ falls } & 6 \text{ < } x \leq 7 \end{array} \right. $
Das Verfahren der Treppenfunktionen dient zur Bestimmung von Näherungswerten für die Bestandsrekonstruktion.
Voraussetzung: Die Bestandsrekonstruktion startet bei $x = 0$ mit $B(0) = 0$.
Aufgabe 3 (★★)
Bestimme näherungsweise den Bestandswert $B(5)$ der Bestandsfunktion $B$ aus dem Applet mit Hilfe der vorgegebenen Treppenfunktion $T$. Kontrolliere mit Hilfe des Applets.
$B(5) \approx 0.69 \cdot 1 + \dots = \dots$
Aufgabe 4 (★★★)
Erkläre anhand des folgenden Applets: Wie ist der Zusammenhang zwischen der Intervallbreite und der Annäherung?
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren3.ggb
Zusammenfassung
Die Erkenntnisse des Kapitels werden durch die folgende Aufgabe gefestigt.Aufgabe 5 (Sicherung)
(a) Bearbeite diese LearningApp:
(b) 🖊️ Fülle den Wissensspeicher aus.
