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Beispiel – Integrale näherungsweise bestimmen

Die Ausgangssituation klären

Wir betrachten die Funktion f mit f(x)=x2. Ziel ist es, Integrale über diese Funktion auf verschiedenen Intervallen zu bestimmen.

Zum Herunterladen: unterobersumme3.ggb

Unter- und Obersummen selbst berechnen

Aufgabe 1 ★

Wir betrachten das Intervall 0x3 und unterteilen es in n=6 Teile.

Ergänze die Angaben und Berechnungen. Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet.

(a) Untersumme U6:

TeilintervallStufenhöheStufenbreiteStufenhöhe mal Stufenbreite
[0.0;0.5]f(0)=00.500.5=0
[0.5;1.0]f(0.5)=0.52=0.250.50.250.5=
[1.0;1.5]
[1.5;2.0]
[2.0;2.5]
[2.5;3.0]

Ergebnis: U6=0+=

(b) Obersumme O6:

TeilintervallStufenhöheStufenbreiteStufenhöhe mal Stufenbreite
[0.0;0.5]f(0.5)=0.250.50.250.5=0.125
[0.5;1.0]f(1)=......
[1.0;1.5]
[1.5;2.0]
[2.0;2.5]
[2.5;3.0]

Ergebnis: O6=0.125+=

(c) Aus der Untersumme U6 und der Obersumme O6 wird eine erste Abschätzung von I0(3)=03f(x)dx generiert. Ergänze die ermittelten Zahlenwerte.

03f(x)dx

(d) Ermittele eine bessere Abschätzung von 03f(x)dx.

03f(x)dx

Aufgabe 2 ★★

Wir betrachten das Intervall 0x1.

(a) Ermittle mit dem Applet Abschätzungen für 01f(x)dx. Betrachte hierzu die Unterteilungen n=10, n=100 und n=1000. Gib die Abschätzungen jeweils in der Form Un01f(x)dxOn an.

(b) Stelle mit Hilfe der Ergebnisse aus (a) eine Vermutung über den genauen Zahlenwert von 01f(x)dx auf.

Eine allgemeine Formel

Es ist recht mühsam, immer das Applet zu verwenden, um Integralwerte zu bestimmen. Vorteilhaft wäre eine allgemeine Formel. In der folgenden Aufgabe sollst du eine Vermutung für solch eine Formel entwickeln.

Aufgabe 3 ★★★

Stelle eine Vermutung für eine allgemeine Formel zur Berechnung von I0(b)=0bf(x)dx dar.

I0(b)=

💡 Tipp

Nutze dazu das Applet, um I0(b) für verschiedene b-Werte (ungefähr) zu bestimmen.

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