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Beispiel – Integrale näherungsweise bestimmen

Die Ausgangssituation klären

Wir betrachten die Funktion $f$ mit $f (x) = x^{2}$ . Ziel ist es, Integrale über diese Funktion auf verschiedenen Intervallen zu bestimmen.

Zum Herunterladen: unterobersumme3.ggb

Unter- und Obersummen selbst berechnen

Aufgabe 1 (Erarbeitung) ★

Wir betrachten das Intervall $0 \leq x \leq 3$ und unterteilen es in $n = 6$ Teile.

Ergänze die Angaben und Berechnungen. Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet.

(a) Untersumme $U_{6}$ :

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe mal Stufenbreite
$[0.0; 0.5]$	$f (0) = 0$	$0.5$	$0 \cdot 0.5 = 0$
$[0.5; 1.0]$	$f (0.5) = {0.5}^{2} = 0.25$	$0.5$	$0.25 \cdot 0.5 = \dots$
$[1.0; 1.5]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[1.5; 2.0]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[2.0; 2.5]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[2.5; 3.0]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

Ergebnis: $U_{6} = 0 + \dots = \dots$

(b) Obersumme $O_{6}$ :

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe*Stufenbreite
$[0.0; 0.5]$	$f (0.5) = 0.25$	$0.5$	$0.25 \cdot 0.5 = 0.125$
$[0.5; 1.0]$	$f (1) = \dots$	...	...
$[1.0; 1.5]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[1.5; 2.0]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[2.0; 2.5]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[2.5; 3.0]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

Ergebnis: $O_{6} = 0.125 + \dots = \dots$

(c) Aus der Untersumme $U_{6}$ und der Obersumme $O_{6}$ wird eine erste Abschätzung von $I_{0} (3)$ generiert. Ergänze die ermittelten Zahlenwerte.

$I_{a} (b)$ bezeichnet hierbei das Integral über der Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ .

$\dots \leq I_{0} (3) \leq \dots$

(d) Ermittele eine bessere Abschätzung von $I_{0} (3)$ .

$\dots \leq I_{0} (3) \leq \dots$

Aufgabe 2 (Erarbeitung) ★★

Wir betrachten das Intervall $0 \leq x \leq 1$ .

(a) Ermittle mit dem Applet Abschätzungen für $I_{0} (1)$ . Betrachte hierzu die Unterteilungen $n = 10$ , $n = 100$ und $n = 1000$ . Gib die Abschätzungen jeweils in der Form $U_{n} \leq I_{0} (1) \leq O_{n}$ an.

(b) Stelle mit Hilfe der Ergebnisse aus (a) eine Vermutung über den genauen Zahlenwert von $I_{0} (1)$ auf.

Eine allgemeine Formel

Es ist recht mühsam, immer das Applet zu verwenden, um Integralwerte zu bestimmen. Vorteilhaft wäre eine allgemeine Formel. In der folgenden Aufgabe sollst du eine Vermutung für solch eine Formel entwickeln.

Aufgabe 3 (Erarbeitung) ★★★

Stelle eine Vermutung für eine allgemeine Formel zur Brechnung von $I_{0} (b)$ dar.

$I_{0} (b) = \dots$

💡 Tipp

Nutze dazu das Applet, um $I_{0} (b)$ für verschiedene $b$ -Werte (ungefähr) zu bestimmen.

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