Die Grundidee
Produktsummen der Treppenfunktionen untersuchen
Wir verallgemeinern hier das Verfahren, welches wir bei der Rekonstruktion eines Bestandes aus der Änderungsratenfunktion benutzt haben.
Gegeben ist eine beliebige Funktion . Sie entspricht in Anwendungen häufig der Änderungsratenfunktion.
Aufgabe 1 (Einstieg)
Beantworte mit Hilfe des untenstehenden Applets die folgenden Fragen:
(a) Welche Intervallgrenzen sind hier für die gegebene Funktion gewählt? Beschreibe außerdem, wie sich diese im Applet ändern lassen.
(b) Durch welche Art von Funktionen wird die vorgegebene Funktion angenähert? In wie viele Teile wird das Intervall dafür unterteilt? Aktiviere dafür die Schalfläche [Obersumme] oder [Untersumme] und variiere .
(c) Wie wird die Stufenhöhe der beiden Funktionen, mit denen die vorgegebene Funktion angenähert wird, festgelegt? Erläutere dabei auch die Berechnung der Untersumme und Obersumme und interpretiere diese graphisch.
(d) Welche Besonderheit ist zu beachten, wenn Funktionen unterhalb der -Achse verlaufen? Erläutere und benutze dafür die bekannten Fachwörter.
(e) Betrachte ein festes Intervall. Vergrößere jetzt mit Hilfe des Schiebereglers. Beschreibe, wie sich und verändern.
Zum Herunterladen: unterobersumme2.ggb
Das Integral als Grenzwert von Produktsummen festlegen
Der Integralbegriff wird folgendermaßen definiert:
Gegeben ist eine Funktion und ein Intervall , welches gänzlich in der Definitionsmenge von liegt. Wenn sich die zugehörige Untersumme und die Obersumme für immer mehr einem gemeinsamen Grenzwert annähern, dann wird dieser Grenzwert als Integral über von bis bezeichnet. Das so gewonnene Integral lässt sich als orientierter Flächeninhalt von zum Intervall deuten.
