Die Grundidee
Produktsummen der Treppenfunktionen untersuchen
Wir verallgemeinern hier das Verfahren, das wir bei der Rekonstruktion eines Bestandes aus der Änderungsratenfunktion benutzt haben.
Gegeben ist eine beliebige Funktion $f$. Sie entspricht in Anwendungen häufig der Änderungsratenfunktion. Du kannst sie dir also als Änderungsratenfunktion vorstellen.
Zum Herunterladen: unterobersumme2.ggb
Aufgabe 1
Beantworte mit der Animation die folgenden Fragen:
- In welchem Intervall wird die vorgegebene Funktion betrachtet? Wie kann man in der Animation die Intervallgrenzen verändern?
-
Durch welche Art von Funktionen wird die Funktion im Intervall angenähert? In wie viele Teile wird das Intervall dafür unterteilt?
Das Intervall wird in $n$ Teile zerlegt und die Funktion wird im Intervall durch Treppenfunktionen angenähert.
-
Wie wird die „Stufenhöhe“ der beiden Funktionen, mit denen die vorgegebene Funktion angenähert wird, festgelegt?
Die untere Treppenfunktion ist so festgelegt, dass die „Stufenhöhe“ jeweils dem kleinsten Funktionswert von $f$ im betreffenden Teilintervall entspricht. Die obere Treppenfunktion ist so festgelegt, dass die „Stufenhöhe“ jeweils dem größten Funktionswert von $f$ im betreffenden Teilintervall entspricht.
- Wie wird die Untersumme $U_n$ berechnet? Wie wird die Obersumme $O_n$ berechnet?
- Wie lassen sich Untersumme und Obersumme graphisch interpretieren?
- Welche Besonderheit ist zu beachten, wenn Funktionen unterhalb der $x$-Achse verlaufen?
Aufgabe 2
Betrachte ein festes Intervall (z.B. $1 \leq x \leq 7$). Vergrößere jetzt $n$ mit Hilfe des Schiebereglers. Beschreibe, wie sich $U_n$ und $O_n$ verändern.
Das Integral als Grenzwert von Produktsummen festlegen
Mit dem Integralbegriff beschreibt man den Grenzwert von Unter- und Obersummen.
Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $a \leq x \leq b$ (das ganz in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegt). Wenn sich die zugehörige Untersumme $U_n$ und die Obersumme $O_n$ für $n \rightarrow \infty$ immer mehr einem gemeinsamen Grenzwert annähern, dann nennt man diesen Grenzwert Integral von $f$ von $a$ bis $b$. Das so gewonnene Integral lässt sich als orientierter Flächeninhalt von $f$ zum Intervall $a \leq x \leq b$ deuten.
