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Übungen – Unter- und Obersummen

Die Ausgangssituation

Wir betrachten die lineare Funktion $f$ mit $f (x) = x$ . Für diese Funktion ist es relativ einfach, Integrale sowohl geometrisch als auch analytisch mit Hilfe von Produktsummen zu bestimmen. Ein Vergleich der Ergebnisse zeigt, dass bei Bestimmung des Integrals einfacher Funktionen keine Fehler bei der geometrischen Strategie passieren und somit das Ergebnis nach analytischer Berechnung gleich dem der geometrischen Berechnung ist.

Zum Herunterladen: unterobersumme4.ggb

Aufgabe 1 — Integrale geometrisch bestimmen ★

Wir betrachten ein Intervall $0 \leq x \leq b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b \in R_{> 0}$ .

(a) Zeige, dass $I_{0} (b) = \frac{1}{2} b^{2}$ gilt. Bestimme dazu auch für einige $b$ -Werte das Integral $I_{0} (b)$ und nutze dafür das Applet.

(b) Begründe die Formel aus (a). Nutze dafür die Begrifflichkeit des orientierten Flächeninhalts.

Aufgabe 2 — Berechnung von Unter- und Obersumme ★

Betrachte das Intervall $0 \leq x \leq 3$ und unterteilen es in $n = 6$ Teile.

Ergänze die Angaben und Berechnungen in der Tabelle und kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet.

(a) Für die Untersumme $U_{6}$ :

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe $\cdot$ Stufenbreite
$[0.0; 0.5]$	$f (0) = 0$	$0.5$	$0 \cdot 0.5 = 0$
$[0.5; 1.0]$	$f (0.5) = \dots$	$\dots$	$\dots$
$[1.0; 1.5]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[1.5; 2.0]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[2.0; 2.5]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[2.5; 3.0]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

Ergebnis: $U_{6} = 0 + \dots = \dots$

(b) Für die Obersumme $O_{6}$ :

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe $\cdot$ Stufenbreite
$[0.0; 0.5]$	$f (0.5) = 0.5$	$0.5$	$0.5 \cdot 0.5 = 0.25$
$[0.5; 1.0]$	$f (1) = \dots$	$\dots$	$\dots$
$[1.0; 1.5]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[1.5; 2.0]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[2.0; 2.5]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[2.5; 3.0]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

Ergebnis: $O_{6} = 0.5 + \dots = \dots$

(c) Gib eine Abschätzung für $I_{0} (3)$ an. Nutze dafür die Unter- und Obersumme aus (a) und (b).

💡 Tipp

$\dots \leq I_{0} (3) \leq \dots$

Aufgabe 3 — Herleiten von Formeln für Unter- und Obersumme ★★

Wir betrachten weiterhin ein Intervall $0 \leq x \leq b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b \in R_{> 0}$ . Dieses Intervall wird in $n$ gleiche Teilintervalle unterteilt.

(a) Begründe, dass jedes Teilintervall die Breite $\frac{b}{n}$ besitzt.

(b) Begründe geometrisch, dass der Untersumme $U_{n}$ die folgende Formel zugrundeliegt:

$\begin{array}{lll} U_{n} & = & \frac{1}{2} b^{2} - n \cdot \frac{1}{2} (\frac{b}{n})^{2} \\ = & \frac{1}{2} b^{2} - n \cdot \frac{1}{2} \frac{b^{2}}{n^{2}} \\ = & \frac{1}{2} b^{2} - \frac{b^{2}}{2 n} \end{array}$

💡 Tipp

Blende im Applet die untere Treppenfunktion und das Integral ein.

(c) Entwickle eine Formel für die Obersumme $O_{n}$ in der Form aus $(b)$ .

(d) Begründe, dass

für $n \to \infty$ $U_{n} \to \frac{1}{2} b^{2}$ und $U_{n} \to \frac{1}{2} b^{2}$ gilt.

Aufgabe 4 — Herleiten von Formeln für Unter- und Obersumme über Produktsummen ★★

Wir betrachten weiterhin ein Intervall $0 \leq x \leq b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b \in R_{> 0}$ . Dieses Intervall wird in $n$ gleiche Teilintervalle unterteilt. Die Breite der Teilintervalle beträgt dann $\frac{b}{n}$ .

(a) Leite eine Formel für die Untersumme $U_{n}$ her.

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe $\cdot$ Stufenbreite
$[0 \cdot \frac{b}{n}; 1 \cdot \frac{b}{n}]$	$f (0 \cdot \frac{b}{n}) = 0 \cdot \frac{b}{n}$	$\frac{b}{n}$	$0 \cdot (\frac{b}{n})^{2}$
$[1 \cdot \frac{b}{n}; 2 \cdot \frac{b}{n}]$	$f (1 \cdot \frac{b}{n}) = 1 \cdot \frac{b}{n}$	$\frac{b}{n}$	$1 \cdot (\frac{b}{n})^{2}$
$[2 \cdot \frac{b}{n}; 3 \cdot \frac{b}{n}]$	$f (2 \cdot \frac{b}{n}) = \dots$	$\dots$	$\dots$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[(n - 1) \cdot \frac{b}{n}; n \cdot \frac{b}{n}]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

Ergebnis: $U_{n} = \dots$

$U_{n} = (0 + 1 + 2 + . . . + (n - 1)) \cdot (\frac{b}{n})^{2}$

(b) Leite eine Formel für die Obersumme $O_{n}$ her.

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe $\dots$ Stufenbreite
$[0 \cdot \frac{b}{n}; 1 \cdot \frac{b}{n}]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[1 \cdot \frac{b}{n}; 2 \cdot \frac{b}{n}]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[2 \cdot \frac{b}{n}; 3 \cdot \frac{b}{n}]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[(n - 1) \cdot \frac{b}{n}; n \cdot \frac{b}{n}]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

Ergebnis: $O_{n} = \dots$

$O_{n} = (1 + 2 + 3 + . . . + n) \cdot (\frac{b}{n})^{2}$

Aufgabe 5 — Grenzwerte von Unter- und Obersummen bestimmen ★★

Wir nutzen jetzt Formeln für Summen von natürlichen Zahlen:

$0 + 1 + 2 + . . . + (n - 1) = \frac{1}{2} \cdot (n - 1) \cdot n$

$1 + 2 + 3 + . . . + n = \frac{1}{2} \cdot n \cdot (n + 1)$

Erklärungen für diese Formeln findest du z.B. auf der Seite Summenformeln.

(a) Erläutere jeden Schritt der folgenden Umformung:

$\begin{array}{lll} U_{n} & = & (0 + 1 + 2 . . . (n - 1)) \cdot (\frac{b}{n})^{2} \\ = & \frac{1}{2} \cdot (n - 1) \cdot n \cdot (\frac{b}{n})^{2} \\ = & \frac{1}{2} \cdot (n - 1) \cdot n \cdot \frac{b^{2}}{n^{2}} \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n}{n} \cdot b^{2} \end{array}$

(b) Erläutere die folgende Grenzwertbetrachtung:

$\begin{array}{lcccccccccc} U_{n} & = & \frac{1}{2} & \cdot & \frac{n - 1}{n} & \cdot & \frac{n}{n} & \cdot & b^{2} \\ n \to \infty & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ \frac{1}{2} & 1 & 1 & b^{2} \end{array}$

Ergebnis: Für $n \to \infty$ gilt $U_{n} \to \frac{1}{2} b^{2}$ .

(c) Zeige analog: Für $n \to \infty$ gilt $O_{n} \to \frac{1}{2} b^{2}$ .

Aufgabe 6 — Vergleich ★★★

Vergleiche die Ergebnisse, die durch geometrische Überlegungen (in Aufgabe 3) und analytische Überlegungen mit Hilfe von Grenzwerten von Produktsummen (in Aufgabe 5) ermittelt wurden. Erläutere.