Übungen - Unter- und Obersummen
Die Ausgangssituation
Wir betrachten die lineare Funktion $f$ mit $f(x) = x$. Für diese Funktion ist es relativ einfach, Integrale sowohl geometrisch als auch analytisch mit Hilfe von Produktsummen zu bestimmen. Ein Vergleich der Ergebnisse zeigt, dass man bei einfachen Funktionen mit der analytischen Methode zu denselben Ergebnissen kommt wie mit den elementaren geometrischen Methoden.
Zum Herunterladen: unterobersumme4.ggb
Aufgabe 1: Integrale geometrisch bestimmen
Wir betrachten ein Intervall $0 \leq x \leq b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b > 0$.
(a) Bestimme mit der Animation für einige $b$-Werte das Integral $I_0(b)$ und zeige exemplarisch, dass vermutlich $I_0(b) = \frac{1}{2}b^2$ gilt.
(b) Nutze die Deutung des Integrals als (orientierter) Flächeninhalt, um die Formel $I_0(b) = \frac{1}{2}b^2$ zu begründen.
Aufgabe 2: Unter- und Obersummen berechnen
Betrachte das Intervall $0 \leq x \leq 3$ und unterteilen es in $n = 6$ Teile.
Ergänze die Angaben und Berechnungen. Kontrolliere die Ergebnisse mit der Animation.
(a) Untersumme $U_6$:
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe*Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $0.0 .. 0.5$ | $f(0) = 0$ | $0.5$ | $0 \cdot 0.5 = 0$ |
| $0.5 .. 1.0$ | $f(0.5) = ...$ | ... | ... |
| $1.0 .. 1.5$ | ... | ... | ... |
| $1.5 .. 2.0$ | ... | ... | ... |
| $2.0 .. 2.5$ | ... | ... | ... |
| $2.5 .. 3.0$ | ... | ... | ... |
Ergebnis: $U_6 = 0 + ... = ...$
(b) Obersumme $O_6$:
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe*Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $0.0 .. 0.5$ | $f(0.5) = 0.5$ | $0.5$ | $0.5 \cdot 0.5 = 0.25$ |
| $0.5 .. 1.0$ | $f(1) = ...$ | ... | ... |
| $1.0 .. 1.5$ | ... | ... | ... |
| $1.5 .. 2.0$ | ... | ... | ... |
| $2.0 .. 2.5$ | ... | ... | ... |
| $2.5 .. 3.0$ | ... | ... | ... |
Ergebnis: $O_6 = 0.5 + ... = ...$
(c) Aus der Untersumme $U_6$ und der Obersumme $O_6$ erhält man eine erste Abschätzung von $I_0(3)$. Ergänze die ermittelten Zahlenwerte.
$... \leq I_0(3) \leq ...$
Aufgabe 3: Formeln für Unter- und Obersummen geometrisch herleiten
Wir betrachten weiterhin ein Intervall $0 \leq x \leq b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b > 0$. Dieses Intervall wird in $n$ gleiche Teilintervalle unterteilt.
(a) Begründe: Jedes Teilintervall hat die Breite $\frac{b}{n}$.
(b) Blende in der Animation die untere Treppenfunktion und das Integral ein. Begründe geometrisch, dass man für die Untersumme $U_n$ folgende Formel erhält:
$\begin{array}{lll} U_n & = & \frac{1}{2}b^2 - n \cdot \frac{1}{2}(\frac{b}{n})^2 \\ & = & \frac{1}{2}b^2 - n \cdot \frac{1}{2} \frac{b^2}{n^2} \\ & = & \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}\frac{b^2}{n} \end{array}$
(c) Entwickle eine analoge Formel für die Obersumme $O_n$.
(d) Begründe:
Für $n \rightarrow \infty$ gilt $U_n \rightarrow \frac{1}{2} b^2$ und $U_n \rightarrow \frac{1}{2} b^2$.
Aufgabe 4: Formeln für Unter- und Obersummen über Produktsummen herleiten
Wir betrachten weiterhin ein Intervall $0 \leq x \leq b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b > 0$. Dieses Intervall wird in $n$ gleiche Teilintervalle unterteilt. Die Breite der Teilintervalle beträgt dann $\frac{b}{n}$.
(a) Leite eine Formel für die Untersumme $U_n$ her.
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe*Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $0 \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad 1 \cdot \frac{b}{n}$ | $f(0 \cdot \frac{b}{n}) = 0 \cdot \frac{b}{n}$ | $\frac{b}{n}$ | $0 \cdot (\frac{b}{n})^2$ |
| $1 \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad 2 \cdot \frac{b}{n}$ | $f(1 \cdot \frac{b}{n}) = 1 \cdot \frac{b}{n}$ | $\frac{b}{n}$ | $1 \cdot (\frac{b}{n})^2$ |
| $2 \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad 3 \cdot \frac{b}{n}$ | $f(2 \cdot \frac{b}{n}) = ...$ | ... | ... |
| ... | ... | ... | ... |
| $(n-1) \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad n \cdot \frac{b}{n}$ | ... | ... | ... |
Ergebnis: $U_n = ...$
$U_n = (0 + 1 + 2 + ... + (n-1)) \cdot (\frac{b}{n})^2$
(b) Leite eine Formel für die Obersumme $O_n$ her.
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe*Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $0 \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad 1 \cdot \frac{b}{n}$ | ... | ... | ... |
| $1 \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad 2 \cdot \frac{b}{n}$ | ... | ... | ... |
| $2 \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad 3 \cdot \frac{b}{n}$ | ... | ... | ... |
| ... | ... | ... | ... |
| $(n-1) \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad n \cdot \frac{b}{n}$ | ... | ... | ... |
Ergebnis: $O_n = ...$
$O_n = (1 + 2 + 3 + ... + n) \cdot (\frac{b}{n})^2$
Aufgabe 5: Grenzwerte von Unter- und Obersummen bestimmen
Wir nutzen jetzt Formeln für Summen von natürlichen Zahlen:
$0 + 1 + 2 + ... + (n-1) = \frac{1}{2}\cdot (n-1) \cdot n$
$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{1}{2}\cdot n \cdot (n+1)$
Erklärungen für diese Formeln findest du z.B. auf der Seite Summenformeln.
(a) Erkläre Schritt für Schritt die folgende Umformung.
$\begin{array}{lll} U_n & = & (0 + 1 + 2 ... (n-1)) \cdot (\frac{b}{n})^2 \\ & = & \frac{1}{2}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (\frac{b}{n})^2 \\ & = & \frac{1}{2}\cdot (n-1) \cdot n \cdot \frac{b^2}{n^2} \\ & = & \frac{1}{2}\cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n} \cdot b^2 \end{array}$
(b) Erkläre Schritt für Schritt die folgende Grenzwertbetrachtung.
$\begin{array}{lcccccccccc} U_n & = & \frac{1}{2} & \cdot & \frac{n-1}{n} & \cdot & \frac{n}{n} & \cdot & b^2 \\ & n \rightarrow \infty & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & \frac{1}{2} & & 1 & & 1 & & b^2 \end{array}$
Ergebnis: Für $n \rightarrow \infty$ gilt $U_n \rightarrow \frac{1}{2} b^2$.
(c) Zeige analog: Für $n \rightarrow \infty$ gilt $O_n \rightarrow \frac{1}{2} b^2$.
Aufgabe 6
Vergleiche die Ergebnisse, die man mit geometrischen Überlegungen (in Aufgabe 3) und analytisch mit Hilfe von Grenzwerten von Produktsummen (in Aufgabe 5) erhält.
