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Zusammenfassung – Integral und orientierte Flächeninhalte

Integrale geometrisch deuten

Orientierte Flächeninhalte berücksichtigen die Lage von Flächenstücken bzgl. der $x$ -Achse:

Der orientierte Flächeninhalt einer Funktion $f$ im Intervall $[a; b] \in D$ ist die Summe der Flächeninhalte der Flächenstücke zwischen dem Graphen $G_{f}$ und der $x$ -Achse im Intervall $[a; b]$ , in der die Flächenstücke oberhalb der $x$ -Achse positive Summanden und Flächenstücke unterhalb der $x$ -Achse negative Summanden sind.

Integrale lassen sich als orientierte Flächeninhalte deuten:

Wenn die Funktion $f$ im Intervall $a \leq x \leq b$ definiert ist, dann entspricht das Integral $I_{a} (b) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ geometrisch dem orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen $G_{f}$ und der $x$ -Achse von $a$ bis $b$ .

Zum Herunterladen: orientierteflaecheninhalte3b.ggb

Betrachte als Beispiel die Situation im Applet.

Der Graph der im Applet vorgegebenen Funktion $f$ verläuft im Intervall $- 1 < x < 0$ im positiven Bereich, im Intervall $0 < x < 2$ im negativen Bereich und im Intervall $2 < x < 3$ im positiven Bereich.

Das Integral $I_{- 1} (3) = \int_{- 1}^{3} f (x) d x$ entspricht dem orientierten Flächeninhalt zwischen Graph $f$ und der $x$ -Achse von
$- 1$ bis $3$ .
Dabei werden die Flächeninhalte der Flächenstücke unterhalb der $x$ -Achse negativ gewertet (hier: $- 2$ ) und die Flächeninhalte der Flächenstücke oberhalb der $x$ -Achse positiv (hier: $0.875$ und $3.125$ ). Insgesamt hat das Integral hier den Wert:
$I_{- 1} (3) = \int_{- 1}^{3} f (x) d x = 0.875 - 2 + 3.125 = 2$

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