Zusammenfassung – Integral und orientierte Flächeninhalte
Integrale geometrisch deuten
Orientierte Flächeninhalte berücksichtigen die Lage von Flächenstücken bzgl. der $x$-Achse:
Der orientierte Flächeninhalt einer Funktion $f$ im Intervall $[a \, ; b]\in D$ ist die Summe der Flächeninhalte der Flächenstücke zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse im Intervall $[a \, ; b]$, in der die Flächenstücke oberhalb der $x$-Achse positive Summanden und Flächenstücke unterhalb der $x$-Achse negative Summanden sind.
Integrale lassen sich als orientierte Flächeninhalte deuten:
Wenn die Funktion $f$ im Intervall $a \leq x \leq b$ definiert ist, dann entspricht das Integral $I_a(b) = \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ geometrisch dem orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$.
Zum Herunterladen: orientierteflaecheninhalte3b.ggb
Betrachte als Beispiel die Situation im Applet.
Der Graph der im Applet vorgegebenen Funktion $f$ verläuft im Intervall $-1 \text{ < } x \text{ < } 0$ im positiven Bereich, im Intervall $0 \text{ < } x \text{ < } 2$ im negativen Bereich und im Intervall $2 \text{ < } x \text{ < } 3$ im positiven Bereich.
Das Integral $I_{-1}(3) = \int\limits_{-1}^{3} f(x) dx$ entspricht dem orientierten Flächeninhalt zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von
$-1$ bis $3$.
Dabei werden die Flächeninhalte der Flächenstücke unterhalb der $x$-Achse negativ gewertet (hier: $-2$) und
die Flächeninhalte der Flächenstücke oberhalb der $x$-Achse positiv (hier: $0.875$ und $3.125$).
Insgesamt hat das Integral hier den Wert:
$I_{-1}(3) = \int\limits_{-1}^{3} f(x) dx = 0.875 - 2 + 3.125 = 2$
