Eigenschaften des Integrals

Eigenschaften des Integrals begründen

Nutze im Folgenden die geometrische Deutung des Integrals als orientierter Flächeninhalt.

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Aufgabe 1 (Erarbeitung und Sicherung)

🖊️ Wir setzen im Folgenden jeweils voraus, dass die Funktion $f$ im betrachteten Intervall definiert ist. Finde heraus, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils anhand geeigneter Beispiele.

(a) $\int\limits_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$

(b) Wenn $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx = 0$, dann gilt $a = b$.

(c) $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx + \int\limits_{b}^{c} f(x) \, dx = \int\limits_{a}^{c} f(x) \, dx$

(d) $\int\limits_{a}^{b} (-f(x)) \, dx = - \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$

(e) Wenn der Graph $G_f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse verläuft, dann gilt $\int\limits_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int\limits_{0}^{a} f(x) \, dx$.

(f) Wenn der Graph $G_f$ punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft, dann gilt $\int\limits_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$.

(g) Wenn $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx > 0$, dann verläuft der Graph $G_f$ im gesamten Intervall $a \leq x \leq b$ oberhalb der $x$-Achse.