Eigenschaften des Integrals

Eigenschaften des Integrals begründen

Nutze im Folgenden die geometrische Deutung des Integrals als orientierter Flächeninhalt.

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Aufgabe 1 (Erarbeitung und Sicherung)

🖊️ Wir setzen im Folgenden jeweils voraus, dass die Funktion $f$ im betrachteten Intervall definiert ist. Finde heraus, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils anhand geeigneter Beispiele.

(a) $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=0$

(b) Wenn $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=0$, dann gilt $a=b$.

(c) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\underset{b}{\overset{c}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$

(d) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(-f(x))dx=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

(e) Wenn der Graph $G_f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse verläuft, dann gilt $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$.

(f) Wenn der Graph $G_f$ punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft, dann gilt $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=0$.

(g) Wenn $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx>0$, dann verläuft der Graph $G_f$ im gesamten Intervall $a\le x\le b$ oberhalb der $x$-Achse.