Übungen – Rekonstruktion eines Bestandes

Aufgabe 1 — Zufluss-Abfluss-System ★

Betrachte folgende Situation — du kannst sie dir als Zufluss-Abfluss-System vorstellen.

Gegeben ist eine Funktion $B'$, die die lokale Änderungsrate eines Bestandes beschreibt (Darstellung im unteren Fenster des Applets). Im Zufluss-Abfluss-System ist das die Zuflussrate.

Gesucht ist eine Funktion $B$, die die Entwicklung des Bestandes erfasst (Darstellung im oberen Fenster des Applets). Wir setzen voraus, dass für den Anfangsbestand $B(0) = 0$ gilt. Im Zufluss-Abfluss-System wird mit den Funktionswerten $B(x)$ die jeweilige Füllmenge beschrieben.

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(a) Bestimme folgende Bestandswerte (mit Hilfe von Produktsummen):

• $B(0) = 0$
• $B(2) = \dots$
• $B(3) = \dots$
• $B(5) = \dots$
• $B(7) = 2.5 \cdot 2 + \dots$

(b) Rekonstruiere mit diesen Ergebnissen den Graphen der Funktion $B$. Bewege im Applet die hierfür vorgesehenen orangefarbenen Punkte an die passenden Stellen. Kontrolliere den so konstruierten Graphen mit der [Kontrolle].

(c) Beurteile folgende Behauptung:
Es genügt, nur die oben vorgegebenen Bestandswerte zu bestimmen. Der Graph der Funktion $B$ ist stückweise linear.
Begründe dein Urteil.

Aufgabe 2 — Geschwindigkeit ★★

Die Funktion $v$ beschreibt die Entwicklung der momentanen Geschwindigkeit eines Wagens in einem Bezugssystem. Die Funktionswerte $v(t)$ werden in [km/min] angegeben (Darstellung im unteren Fenster des Applets).

Gesucht ist eine Funktion $s$, die die Entfernung des Wagens in [km] zum Zeitpunkt $t$ vom Bezugspunkt beschreibt (Darstellung im oberen Fenster des Applets). Wir setzen voraus, dass $s(0) = 0$ gilt.

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(a) Beschreibe stichpunktartig die Bewegung des Wagens.

(b) Bestimme folgende Bestandswerte (mit Hilfe von Produktsummen).

• $s(0) = 0$
• $s(2) = \dots$
• $s(3) = \dots$
• $s(5) = \dots$
• $s(7) = 1.5 \cdot 2 + \dots$

(c) Rekonstruiere mit diesen Ergebnissen den Graphen der Funktion $s$. Bewege im Applet die hierfür vorgesehenen orangefarbenen Punkte an die passenden Stellen. Kontrolliere den so konstruierten Graphen mit der [Kontrolle].

(d) Wie ändert sich der Graph der Funktion $s$, wenn für den Anfangsbestand $s(0) = 1$ gilt? Begründe. Was ändert sich bei $s(0) = -1$?

Aufgabe 3 — Geschwindigkeit ★★

Die Funktion $a$ beschreibt die Entwicklung der momentanen Beschleunigung eines Wagens in [km/min$^2$] zum Zeitpunkt $t$ (Darstellung im unteren Fenster des Applets).

Gesucht ist eine Funktion $v$, die die momentane Geschwindigkeit des Wagens in [km/min] zum Zeitpunkt $t$ beschreibt (Darstellung im oberen Fenster des Applets). Wir setzen voraus, dass $v(0) = 0$ gilt.

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(a) Beschreibe stichpunktartig die Bewegung des Wagens.

(b) Bestimme folgende Bestandswerte (mit Hilfe von Produktsummen):

• $v(0) = 0$
• $v(2) = \dots$
• $v(3) = \dots$
• $v(5) = \dots$
• $v(7) = 2.5 \cdot 2 + \dots$

(c) Rekonstruiere mit diesen Ergebnissen den Graphen der Funktion $v$. Bewege im Applet die hierfür vorgesehenen orangefarbenen Punkte an die passenden Stellen. Kontrolliere den so konstruierten Graphen mit der [Kontrolle].

Aufgabe 4 — Stromkonsument:innen ★★★

In fast allen Haushalten wird Strom benötigt, um elektrische Geräte zu betreiben. Viele Haushalte sind inzwischen auch Stromversorger, indem sie selbst erzeugten Strom in das überregionale Stromnetz einspeisen. Wir gehen hier davon aus, dass an der Netzschnittstelle ein Messgerät laufend die (schwankende) elektrische Leistung $P$ zu Zeitpunkten $t$ in der Einheit [kW] misst. Die Leistungswerte werden positiv dargestellt, wenn Energie aus dem Netz bezogen wird und negativ, wenn Energie in das Netz abgegeben wird.

Für Stromabrechnungen muss die Gesamtenergie $W$ bestimmt werden, die vom Netz bezogen wird. Hierfür sollst du den Verlauf der Funktion $W$ — bei gegebenen Verlauf von $P$ — rekonstruieren. Wir setzen voraus, dass $W(0) = 0$ gilt.

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(a) Beschreibe stichpunktartig den abgebildeten Energiefluss.

(b) Bestimme Näherungswerte für $W(t)$ für $t = 1, 2, ..., 10$. Nutze ggf. bei der Abschätzung die [Hilfe] im unteren Fenster des Applets. Stelle die Werte mit Punkten im oberen Fenster des Applets dar, indem du die Punkte passend verschiebst. Kontrolliere diese abschließend im Applet mit der [Kontrolle].

(c) Erkläre, warum die entstehenden Punkte nicht durch Geradenabschnitte verbunden werden sollten.
Erläutere eine alternative Vorgehensweise für präzisere Ergebnisse.