Beispiel 2

Orientierte Flächeninhalte mit dem Integral bestimmen

Wir betrachten hier eine Funktion, bei der man (orientierte) Flächeninhalte nicht mehr mit elementaren Flächenberechnungen bestimmen kann. Integrale helfen hier weiter. Wir nutzen die Animation, um die Integrale zu bestimmen. Wie man selbst schnell die Integrale berechnen kann, wird erst im nächsten Kapitel geklärt.

Zum Herunterladen: orientierteflaecheninhalte2.ggb

Aufgabe 1

Der Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalten soll anhand der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2x$ überprüft werden.

(a) Bestimme mit Hilfe der Animation zunächst folgende Integrale:

$I_{-1}(0) = \int\limits_{-1}^{0} \left( \frac{1}{2}x^3 - 2x \right) dx$

$I_{0}(2) = \int\limits_{0}^{2} \left( \frac{1}{2}x^3 - 2x \right) dx$

$I_{2}(3) = \int\limits_{2}^{3} \left( \frac{1}{2}x^3 - 2x \right) dx$

(b) Bestimme mit Hilfe der Animation anschließend folgende Integrale:

$I_{-1}(2) = \int\limits_{-1}^{2} \left( \frac{1}{2}x^3 - 2x \right) dx$

$I_{0}(3) = \int\limits_{0}^{3} \left( \frac{1}{2}x^3 - 2x \right) dx$

$I_{-1}(3) = \int\limits_{-1}^{3} \left( \frac{1}{2}x^3 - 2x \right) dx$

(c) Überprüfe exemplarisch mit den in (a) und (b) bestimmten Werten, dass bei der Integralberechnung Flächenstücken oberhalb der $x$-Achse positiv und Flächenstücken unterhalbhalb der $x$-Achse negativ gewertet werden.