Beispiel 2

Orientierte Flächeninhalte mit dem Integral bestimmen

Wir betrachten hier eine Funktion vom Grad 3. Bei dieser lässt sich der orientierte Flächeninhalt nicht mehr durch elementargeometrische Berechnungen bestimmen. Wir nutzen das Applet, um die Integrale zu bestimmen.

Zum Herunterladen: orientierteflaecheninhalte2.ggb

Aufgabe 1 (Erarbeitung)

Der Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalten soll anhand der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2x$ überprüft werden.

(a) Bestimme mit Hilfe des Applets zunächst folgende Integrale:

$I_{-1}(0) = \int\limits_{-1}^{0} \left( \frac{1}{2}x^3 - 2x \right) dx$

$I_{0}(2) = \int\limits_{0}^{2} \left( \frac{1}{2}x^3 - 2x \right) dx$

$I_{2}(3) = \int\limits_{2}^{3} \left( \frac{1}{2}x^3 - 2x \right) dx$

(b) Bestimme mit Hilfe des Applets anschließend folgende Integrale:

$I_{-1}(2) = \int\limits_{-1}^{2} \left( \frac{1}{2}x^3 - 2x \right) dx$

$I_{0}(3) = \int\limits_{0}^{3} \left( \frac{1}{2}x^3 - 2x \right) dx$

$I_{-1}(3) = \int\limits_{-1}^{3} \left( \frac{1}{2}x^3 - 2x \right) dx$

(c) Überprüfe exemplarisch mit den in (a) und (b) bestimmten Werten, dass bei der Integralberechnung Flächenstücken oberhalb der $x$-Achse positiv und Flächenstücken unterhalb der $x$-Achse negativ gewertet werden.

Eigenschaften des Integrals, die zur effizienten Berechnung von Integralen beitragen, werden im nächsten Schritt erarbeitet.