Erarbeitung - erste Berechnungen
Zur Orientierung
Wir betrachten ein Zufluss-Abfluss-System, bei dem sich der Zu- und Abfluss regeln lässt. Dabei bezeichnet $V(t)$ den Bestand zu einem Zeitpunkt $t$ und $z(t)$ die Gesamtzuflussrate (Zufluss $-$ Abfluss) im System zu einem Zeitpunkt $t$. Falls $z(t)$ positiv (negativ) ist, ist der Zufluss zum Zeitpunkt $t$ größer (kleiner) als der Abfluss zum gleichen Zeitpunkt.
Für die folgenden Überlegungen ist es sinnvoll, wenn du dir unter dem Zufluss-Abfluss-System einen Wasserbehälter vorstellst, in den Wasser rein- und wieder rausfließen kann.
Im Folgenden geht es darum, aus der Zuflussrate die Füllmenge zu berechnen.
Gegeben ist die Zuflussrate $z(t)$, die die Entwicklung des momentanen Zu- und Abflusses zum Wasserbehälter (in der Einheit Liter pro Minute) beschreibt.
Gesucht ist die gesamte Füllmenge $V(t)$ des Wasserbehälters (in der Einheit Minuten). Wir gehen davon aus, dass der Behälter zum Zeitpunkt $t = 0$ leer ist.
Aufgabe 1 (★)
Betrachte das im Applet beschriebene Zufluss-Abfluss-System. Die (gegebene) Zuflussrate $z$ ist unten dargestellt. Ziel ist es, die Punkte im oberen Koordinatensystem so zu verschieben, dass sie den Verlauf des Graphen der Füllmenge $V(t)$ punktuell korrekt beschreiben.
Zum Herunterladen: zasystem1.ggb
(a) Beschreibe den Zufluss-Abfluss-Vorgang mit Hilfe der blau skizzierten Zuflussraten $z(t)$ in den gegebenen Zeitintervallen.
(b) Rekonstruiere aus den Daten zur Zuflussrate die jeweilige Füllmenge $V(t)$. Bestimme hierzu für die Zeitpunkte $t = 1, ..., 10$ die Füllmenge $V(t)$ und markiere sie im oberen Koordinatensystem jeweils mit einem Punkt, indem du Punkte passend verschiebst.
(c) Kontrolliere, ob du alle Punkte richtig gesetzt hast.
(d) Die rekonstruierten Füllmengen $V(t)$ kann man im unteren Graphen geometrisch deuten. Siehst du einen Zusammenhang? Schaue dir hierzu die ermittelten Füllmengen (z.B. $V(4)$ und $V(7)$) nochmal an und suche nach einer geometrischen Entsprechung im unteren Graphen.
Aufgabe 2 (★★)
Betrachte das im Applet beschriebene Zufluss-Abfluss-System.
Zum Herunterladen: zasystem2.ggb
(a) Beschreibe den Zufluss-Abfluss-Vorgang mit Hilfe der blau skizzierten Zuflussraten $z$ in den gegebenen Zeitintervallen.
(b) Bestimme für die Zeitpunkte $t = 1, ..., 10$ die jeweilige Füllmenge $V(t)$ und markiere sie im oberen Koordinatensystem jeweils mit einem Punkt, in dem du die Punkte passend verschiebst. Wenn du alle Füllmengen bestimmt und die Punkte passend gesetzt hast, dann überprüfe zur Kontrolle deine Ergebnisse.
(c) Die rekonstruierten Füllmengen $V(t)$ kann man im unteren Graphen wieder geometrisch deuten. Siehst du einen Zusammenhang?
Aufgabe 3 (★★★)
Betrachte das im Applet beschriebene Zufluss-Abfluss-System.
Zum Herunterladen: zasystem3.ggb
(a) Beschreibe den Zufluss-Abfluss-Vorgang mit Hilfe der blau skizzierten Zuflussraten $z$ in den gegebenen Zeitintervallen. Worin unterscheidet sich das vorliegende Zufluss-Abfluss-System von denen in Aufgabe 1 und Aufgabe 2?
(b) In Aufgabe 1 und Aufgabe 2 hast du die Füllmengen $V(t)$ im unteren Graph geometrisch gedeutet. Verwende diese geometrische Deutung, um für die Zeitpunkte $t = 1, ..., 10$ die jeweilige Füllmenge $V(t)$ zu bestimmen. Markiere die Füllmengen im oberen Koordinatensystem jeweils mit einem Punkt, in dem du die Punkte passend verschiebst. Wenn du alle Füllmengen bestimmt und die Punkte passend gesetzt hast, dann überprüfe zur Kontrolle deine Ergebnisse.
(c) Die geometrische Deutung von Füllmengen $V(t)$ im unteren Graph ermöglicht es hier, diese Füllmengen zu bestimmen. Aber, ist das ein sinnvolles Vorgehen? Sind die erzielten Ergebnisse plausibel? Bewerte das benutzte Verfahren.
