Erarbeitung - erste Berechnungen
Zur Orientierung
Wir betrachten ein Zufluss-Abfluss-System, bei dem sich der Zu- und Abfluss regeln lässt. Dabei bezeichnet $V(t)$ den Bestand zu einem Zeitpunkt $t$ und $z(t)$ die Gesamtzuflussrate (Zufluss $-$ Abfluss) im System zu einem Zeitpunkt $t$. Falls $z(t)$ positiv (negativ) ist, ist der Zufluss zum Zeitpunkt $t$ größer (kleiner) als der Abfluss zum gleichen Zeitpunkt.
Für die folgenden Überlegungen ist es sinnvoll, wenn du dir unter dem Zufluss-Abfluss-System einen Wasserbehälter vorstellst, in den Wasser rein- und wieder rausfließen kann.
Im Folgenden geht es darum, aus der Zuflussrate die Füllmenge zu berechnen.
Gegeben ist die Zuflussrate $z(t)$, die die Entwicklung des momentanen Zu- und Abflusses zum Wasserbehälter (in der Einheit Liter pro Minute) beschreibt.
Gesucht ist die gesamte Füllmenge $V(t)$ des Wasserbehälters (in der Einheit Minuten). Wir gehen davon aus, dass der Behälter zum Zeitpunkt $t = 0$ leer ist.
Aufgabe 1 (★)
Betrachte das im Applet beschriebene Zufluss-Abfluss-System. Die (gegebene) Zuflussrate $z$ ist unten dargestellt. Der (gesuchte) Verlauf des Graphen der Füllmenge $V$ soll oben skizziert werden.
Zum Herunterladen: zasystem1.ggb
(a) Beschreibe den Zufluss-Abfluss-Vorgang mit Hilfe der blau skizzierten Zuflussraten $z(t)$ in den gegebenen Zeitintervallen.
(b) Rekonstruiere aus den Daten zur Zuflussrate die jeweilige Füllmenge $V(t)$. Bestimme hierzu für die Zeitpunkte $t = 1, ..., 10$ die jeweilige Füllmenge $V(t)$ und markiere sie im oberen Koordinatensystem jeweils mit einem Punkt, in dem du die Punkte passend verschiebst. Wenn du alle Füllmengen bestimmt und die Punkte passend gesetzt hast, kannst du deine Ergebnisse mit der [Kontrolle] überprüfen.
(c) Aktiviere das Kontrollkästchen [Flächen] im unteren Fenster. Den Zeitpunkt $t$ auf der horizontalen Achse ($t$-Achse) kannst du variieren. Erläutere Zusammenhänge zwischen den berechneten Füllmengen und den markierten Flächen.
Aufgabe 2 (★★)
Betrachte das im Applet beschriebene Zufluss-Abfluss-System.
Zum Herunterladen: zasystem2.ggb
(a) Beschreibe den Zufluss-Abfluss-Vorgang mit Hilfe der blau skizzierten Zuflussraten $z$ in den gegebenen Zeitintervallen.
(b) Bestimme für die Zeitpunkte $t = 1, ..., 10$ die jeweilige Füllmenge $V(t)$ und markiere sie im oberen Koordinatensystem jeweils mit einem Punkt, in dem du die Punkte passend verschiebst. Wenn du alle Füllmengen bestimmt und die Punkte passend gesetzt hast, kannst du deine Ergebnisse mit der [Kontrolle] überprüfen.
(c) Aktiviere das Kontrollkästchen [Flächen] im unteren Fenster. Den Zeitpunkt $t$ auf der horizontalen Achse ($t$-Achse) kannst du variieren. Erläutere Zusammenhänge zwischen den berechneten Füllmengen und den markierten Flächen.
Aufgabe 3 (★★★)
Betrachte das im Applet beschriebene Zufluss-Abfluss-System.
Zum Herunterladen: zasystem3.ggb
(a) Beschreibe den Zufluss-Abfluss-Vorgang mit Hilfe der blau skizzierten Zuflussraten $z$ in den gegebenen Zeitintervallen. Worin unterscheidet sich das vorliegende Zufluss-Abfluss-System von denen in Aufgabe 1 und Aufgabe 2?
(b) Bestimme für die Zeitpunkte $t = 1, ..., 10$ die jeweilige Füllmenge $V(t)$ und markiere sie im oberen Koordinatensystem jeweils mit einem Punkt, in dem du die Punkte passend verschiebst. Wenn du alle Füllmengen bestimmt und die Punkte passend gesetzt hast, kannst du deine Ergebnisse mit der [Kontrolle] überprüfen.
(c) Aktiviere das Kontrollkästchen [Flächen] im unteren Fenster. Den Zeitpunkt $t$ auf der horizontalen Achse ($t$-Achse) kannst du variieren. Erläutere Zusammenhänge zwischen den berechneten Füllmengen und den markierten Flächen.
