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Zusammenfassung – Integrieren

Rekonstruktion eines Bestandes aus Bestandsänderungsraten

Wir betrachten folgende Situation:

Gegeben ist eine Funktion $B^{'}$ , die die lokale Änderungsrate eines Bestandes beschreibt.

Gesucht ist eine Funktion $B$ , die die Entwicklung des Bestandes erfasst.

Wir verwenden ein Rekonstruktionsverfahren, welches Integrieren genannt wird.

Treppenfunktionen betrachten

Im einfachen Fall wird die Änderungsrate mit einer Treppenfunktion beschrieben — die Änderungsratenfunktion ist abschnittweise konstant.

Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren1.ggb

Betrachte als Beispiel die im Applet vorgegebene Änderungsratenfunktion $B^{'}$ :

$B^{'} (x) = {\begin{cases} 2 & falls & 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & falls & 2 < x \leq 3 \\ - 1.5 & falls & 3 < x \leq 5 \\ 1 & falls & 5 < x \leq 7 \end{cases}$

Wenn die Bestandsfunktion $B$ aus den Änderungsraten rekonstruieren werden soll, muss zunächst der Ausgangsbestandswert gegeben sein.

Voraussetzung: Die Bestandsrekonstruktion startet bei $x = 0$ mit $B (0) = 0$ .

Die Bestandswerte lassen sich jetzt mit Hilfe von Produktsummen wie im folgenden Beispiel bestimmen.

$\begin{array}{lll} B (6) & = & 2 \cdot 2 \\ + & 0 \cdot 1 \\ + & (- 1.5) \cdot 2 \\ + & 1 \cdot 1 \\ = & 2 \end{array}$

Die Grundidee bei der Bestandsrekonstruktion lässt sich so beschreiben:

Wenn die lokale Änderungsrate mit einer (stückweise konstanten) Treppenfunktion $B^{'}$ gegeben ist, dann lässt sich die Bestandsentwicklung, gegeben durch $B (x)$ für alle $x \in D$ , mit Hilfe von Produktsummen rekonstruieren. Dabei werden Produkte der Form "Änderungsrate $\cdot$ Schrittweite" bzw. "Stufenhöhe $\cdot$ Stufenbreite" gebildet. Durch Aufsummieren dieser Produkte erhalten wir die Gesamtänderung des Bestandes im betrachteten Intervall. Die Produktsummen können als orientierte Flächeninhalte der Flächen zwischen dem Graphen der Treppenfunktion und der $x$ -Achse gedeutet werden. Flächeninhalte von Flächen oberhalb der $x$ -Achse werden dabei positiv, Flächeninhalte von Flächen unterhalb der $x$ -Achse negativ gezählt.

Beliebige Funktionen betrachten

Schwieriger ist die Rekonstruktion, wenn die Änderungsrate mit einer Funktion beschrieben wird, die keine Treppenfunktion ist.

Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren2.ggb

Im diesem Fall lässt sich die Änderungsratenfunktion mit einer Treppenfunktion annähern. Im Beispiel im Applet wird eine grobe Annäherung mit einer Stufenbreite von $1$ betrachtet. Die Treppenstufen sind so gewählt, dass deren Mitte den Funktionsgraphen von $B^{'}$ schneidet.

Das Verfahren für Treppenfunktionen lässt sich jetzt anwenden, um Näherungswerte für die Bestandsrekonstruktion zu gewinnen.

$T (x) = {\begin{cases} 0.69 & falls & 0 \leq x \leq 1 \\ 1.01 & falls & 1 < x \leq 2 \\ 0.44 & falls & 2 < x \leq 3 \\ - 0.44 & falls & 3 < x \leq 4 \\ - 1.01 & falls & 4 < x \leq 5 \\ - 0.69 & falls & 5 < x \leq 6 \\ 1.14 & falls & 6 < x \leq 7 \end{cases}$

Voraussetzung: Die Bestandsrekonstruktion startet bei $x = 0$ mit $B (0) = 0$ .

Die Bestandswerte lassen sich jetzt mit Hilfe von Produktsummen näherungsweise bestimmen und als orientierte Flächeninhalte deuten.

$\begin{array}{lll} B (5) & \approx & 0.69 \cdot 1 \\ + & 1.01 \cdot 1 \\ + & 0.44 \cdot 1 \\ + & (- 0.44) \cdot 1 \\ + & (- 1.01) \cdot 1 \\ = & 0.69 \end{array}$

Das folgende Applet verdeutlicht: Je kleiner die Breite der Intervalle gewählt wird, desto genauer wird die Annäherung der Treppenfunktionen an die vorgegebene Änderungsratenfunktion. Wir erhalten dann auch bessere Abschätzungen bei der Bestandsrekonstruktion.

Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren3.ggb

Wenn die lokale Änderungsrate mit einer beliebigen Funktion $B^{'} (x)$ gegeben ist, dann lässt sich die Bestandsentwicklung, gegeben durch $B (x)$ für alle $x \in D$ , mit einem Näherungsverfahren rekonstruieren. Die Änderungsratenfunktion wird hierzu mit einer Treppenfunktion angenähert. Für diese Treppenfunktion lässt sich die Bestandsrekonstruktion mit Hilfe von Produktsummen durchführen und wir erhalten auf diese Weise Näherungswerte für die Bestandsentwicklung zur vorgegeben Änderungsratenfunktion. Je kleiner die Intervalle der Treppenfunktion gewählt werden, desto exakter wird die Annäherung der Treppenfunktionen an die vorgegebene Änderungsratenfunktion. Dadurch erhalten wir bessere Abschätzungen bei der Bestandsrekonstruktion. Wie im Fall der Treppenfunktion entspricht die Bestandsänderung in einem Intervall dem orientierten Flächeninhalt zwischen der Änderungsratenfunktion und der $x$ -Achse im betreffenden Intervall.

In den folgenden Kapiteln werden diese Zusammenhänge vertiefend betrachtet und dabei das Produktsummenverfahren und seine Interpretation als orientierte Flächeninhalte genauer analysiert.

Video - Bestandsrekonstruktion - die Idee

In diesem Video werden die Idee der Rekonstruktion eines Bestands aus seiner Änderungsrate am Beispiel des Zufluss-Abfluss-Modells vorgestellt und erste Zusammenhänge zwischen Änderungsrate und Bestandsfunktion herausgestellt.

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Video - Schrittweise Bestandsrekonstruktion bei Treppenfunktionen

In diesem Video wird die Rekonstruktion des Bestands aus einer Treppenfunktion ausführlich am Beispiel der Zuflussrate vorgenommen und schrittweise erklärt. Die Erkenntnisse werden am Ende verallgemeinert.

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