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Definition des Integrals und Schreibweise

Produktsummen der Treppenfunktionen untersuchen

Zielsetzung

Wir verallgemeinern hier das Verfahren, welches wir bei der Rekonstruktion eines Bestandes aus der Änderungsratenfunktion benutzt haben.

Gegeben ist eine beliebige Funktion $f$ . Sie entspricht in Anwendungen häufig der Änderungsratenfunktion.

Gesucht ist das Integral der Funktion $f$ im Intervall $[1; 7]$ .

Aufgabe 1 (Einstieg)

Benutze für die Aufgabe das Applet unter der Aufgabe. Ändere dafür nichts an den Intervallgrenzen $a$ und $b$ oder der Funktionsgleichung $f (x)$ .

(a) Klicke auf das Kontrollkästchen Obersumme. Im unteren Fenster erscheint die obere Treppenfunktion zur vorgegebenen Funktion $f$ . Beschreibe, wie die Obersumme mithilfe der Abbildung unten berechnet werden kann. Die Obersumme wird im oberen Fenster $O_{4}$ genannt. Welche Bedeutung hat dabei die Zahl $n = 4$ ?

(b) Blende die obere Treppenfunktion wieder aus und klicke stattdessen auf das Kontrollkästchen Untersumme. Erkläre mithilfe der erschienenen Treppenfunktion, warum die Untersumme $U_{4}$ negativ ist.

Zum Herunterladen: unterobersumme2.ggb

Aufgabe 2 (Erarbeitung)

Gesucht ist das Integral der Funktion

f

im Intervall

[1; 7]

. Man nutzt dafür die Schreibweise

\int_{1}^{7} f (x) d x

. Warum, man das so schriebt, klären wir später.

(a) Mithilfe von $U_{4}$ und $O_{4}$ können wir dieses Integral nicht genau angeben. Erkläre, warum wir aber z.B. wissen, dass $\int_{1}^{7} f (x) d x > - 4$ und $\int_{1}^{7} f (x) d x < 6$ .

(b) Beschreibe ein Vorgehen, wie man mithilfe der Obersumme und Untersumme das Integral annähern kann.

Das Integral als Grenzwert von Produktsummen festlegen

Grenzwerte von Produktsummen

Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $[a; b]$ (das ganz in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegt). Wenn sich die zugehörigen Untersummen $U_{n}$ und die Obersummen $O_{n}$ für $n \to \infty$ einem gemeinsamen Grenzwert $I_{a} (b)$ annähern, dann wird dieser Grenzwert Integral über $f$ von $a$ bis $b$ genannt.

Man nutzt für Integrale die Notation: $\int_{a}^{b} f (x) d x$ oder $I_{a} (b)$ .

Das so definierte Integral lässt sich als orientierter Flächeninhalt von $f$ zum Intervall $[a; b]$ deuten.

Aufgabe 3 (Sicherung)

Integral-Schreibweisen

Man nutzt für Integrale zwe verschiedene Notationen:

\int_{a}^{b} f (x) d x

oder

I_{a} (b)

. Die erste wird hier erklärt, die zweite wird wichtig für das nächste Kapitel.

Die Integral-Schreibweise hat folgenden Hintergrund:

Das Integral $I_{a} (b)$ ist der Grenzwert von Untersummen bzw. Obersummen, die jeweils die folgende Struktur haben:

$U_{n}$ : Summe von Produkten der Gestalt $\underset{Stufenhöhe}{\underset{⏟}{f (x)}} \cdot \underset{Stufenbreite}{\underset{⏟}{Δ x}}$ .

$O_{n}$ : Summe von Produkten der Gestalt $\underset{Stufenhöhe}{\underset{⏟}{f (x)}} \cdot \underset{Stufenbreite}{\underset{⏟}{Δ x}}$ .

In jedem Teilintervall wird die Stufenhöhe durch einen Funktionswert $f (x)$ für ein passend gewähltes $x$ bestimmt. Die Stufenbreite $Δ x$ entspricht der Länge des Gesamtintervalls dividiert durch die Anzahl der Unterteilungen.

Wenn das Zeichen $\int$ für (S)ummen sowie $d x$ für $Δ x$ genutzt wird, dann lässt sich die Grundidee des Integrals so darstellen:

Grundidee der Integral-Schreibweise

$\begin{array}{lll} O_{n} & = & \int umme von Produkten der Gestalt f (x) \cdot Δ x \\ ↓ & n \to \infty \\ I_{a} (b) & = & \int_{a}^{b} f (x) d x \\ ↑ & n \to \infty \\ U_{n} & = & \int umme von Produkten der Gestalt f (x) \cdot Δ x \end{array}$

Diese Integralschreibweise ist historisch bedingt und hat sich im Laufe der Zeit durchgesetzt.

Aufgabe 4 (Sicherung)

Ordne zu.

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