Die Grundidee
Produktsummen der Treppenfunktionen untersuchen
Wir verallgemeinern hier das Verfahren, welches wir bei der Rekonstruktion eines Bestandes aus der Änderungsratenfunktion benutzt haben.
Gegeben ist eine beliebige Funktion $f$. Sie entspricht in Anwendungen häufig der Änderungsratenfunktion.
Aufgabe 1 (Einstieg)
Beantworte mit Hilfe des untenstehenden Applets die folgenden Fragen:
(a) Welche Intervallgrenzen sind hier für die gegebene Funktion $f$ gewählt? Beschreibe außerdem, wie sich diese im Applet ändern lassen.
(b) Durch welche Art von Funktionen wird die vorgegebene Funktion $f$ angenähert? In wie viele Teile wird das Intervall dafür unterteilt? Aktiviere dafür die Schalfläche [Obersumme] oder [Untersumme] und variiere $n$.
(c) Wie wird die Stufenhöhe der beiden Funktionen, mit denen die vorgegebene Funktion $f$ angenähert wird, festgelegt? Erläutere dabei auch die Berechnung der Untersumme $U_n$ und Obersumme $O_n$ und interpretiere diese graphisch.
(d) Welche Besonderheit ist zu beachten, wenn Funktionen unterhalb der $x$-Achse verlaufen? Erläutere und benutze dafür die bekannten Fachwörter.
(e) Betrachte ein festes Intervall. Vergrößere jetzt $n$ mit Hilfe des Schiebereglers. Beschreibe, wie sich $U_n$ und $O_n$ verändern.
Zum Herunterladen: unterobersumme2.ggb
Das Integral als Grenzwert von Produktsummen festlegen
Der Integralbegriff wird folgendermaßen definiert:
Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $a \leq x \leq b$, welches gänzlich in der Definitionsmenge $D$ von $f$ liegt. Wenn sich die zugehörige Untersumme $U_n$ und die Obersumme $O_n$ für $n \rightarrow \infty$ immer mehr einem gemeinsamen Grenzwert annähern, dann wird dieser Grenzwert als Integral über $f$ von $a$ bis $b$ bezeichnet. Das so gewonnene Integral lässt sich als orientierter Flächeninhalt von $f$ zum Intervall $a \leq x \leq b$ deuten.
