Beispiel – Integrale herleiten

Die Ausgangssituation klären

Wir betrachten wieder die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$. Ziel ist es, Integrale über diese Funktion exakt zu bestimmen.

Zum Herunterladen: unterobersumme3.ggb

Nutze das Applet, um die folgenden Überlegungen zu veranschaulichen.

Formeln für Unter- und Obersummen entwickeln

Wir betrachten ein Intervall $0\le x\le b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b>0$.

Aufgabe 1 (Eararbeitung) ★

(a) "Jedes Teilintervall hat die Breite $\frac{b}{n}$. Wir schreiben hierfür auch $\mathrm{\Delta }x=\frac{b}{n}$." Nimm Stellung zu dieser Behauptung und begründe diese.

(b) Begründe die folgenden Darstellungen der Teilintervalle auf der $x$-Achse:

$[0\cdot \mathrm{\Delta }x;1\cdot \mathrm{\Delta }x]$, $[1\cdot \mathrm{\Delta }x;2\cdot \mathrm{\Delta }x]$, $\dots$, $[(n-1)\cdot \mathrm{\Delta }x;n\cdot \mathrm{\Delta }x]$.

[$x_0=0\cdot \frac{b}{n};x_1=1\cdot \frac{b}{n}]$, $[x_1=1\cdot \frac{b}{n};x_2=2\cdot \frac{b}{n}]$, $\dots$, $[x_{n-1}=(n-1)\cdot \frac{b}{n};x_n=n\cdot \frac{b}{n}]$

Aufgabe 2 (Erarbeitung) ★

(a) Erkläre die Einträge in der Tabelle und das Ergebnis für die Untersumme $U_n$:

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe*Stufenbreite
$[0\cdot \frac{b}{n};1\cdot \frac{b}{n}]$	$f(0\cdot \frac{b}{n})=(0\cdot \frac{b}{n}{)}^2=0^2\cdot (\frac{b}{n}{)}^2$	$\frac{b}{n}$	$0^2\cdot (\frac{b}{n}{)}^3$
$[1\cdot \frac{b}{n};2\cdot \frac{b}{n}]$	$f(1\cdot \frac{b}{n})=(1\cdot \frac{b}{n}{)}^2=1^2\cdot (\frac{b}{n}{)}^2$	$\frac{b}{n}$	$1^2\cdot (\frac{b}{n}{)}^3$
$[2\cdot \frac{b}{n};3\cdot \frac{b}{n}]$	$f(2\cdot \frac{b}{n})=(2\cdot \frac{b}{n}{)}^2=2^2\cdot (\frac{b}{n}{)}^2$	$\frac{b}{n}$	$2^2\cdot (\frac{b}{n}{)}^3$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[(n-1)\cdot \frac{b}{n};n\cdot \frac{b}{n}]$	$f((n-1)\cdot \frac{b}{n})=((n-1)\cdot \frac{b}{n}{)}^2=(n-1{)}^2\cdot (\frac{b}{n}{)}^2$	$\frac{b}{n}$	$(n-1{)}^2\cdot (\frac{b}{n}{)}^3$

Ergebnis: $U_n=(0^2+1^2+2^2\dots (n-1{)}^2)\cdot (\frac{b}{n}{)}^3$

(b) Ergänze die Angaben in der Tabelle für die Obersumme $O_n$. Berechne außerdem das Ergebnis.

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe*Stufenbreite
$[0\cdot \frac{b}{n};1\cdot \frac{b}{n}]$	$f(1\cdot \frac{b}{n})=(1\cdot \frac{b}{n}{)}^2=1^2\cdot (\frac{b}{n}{)}^2$	$\frac{b}{n}$	$1^2\cdot (\frac{b}{n}{)}^3$
$[1\cdot \frac{b}{n};2\cdot \frac{b}{n}]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[2\cdot \frac{b}{n};\cdot \frac{b}{n}]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$[(n-1)\cdot \frac{b}{n};n\cdot \frac{b}{n}]$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

Ergebnis: $O_n=\dots$

🔑 Lösung

Grenzwerte der Unter- und Obersummen bestimmen

Wir nutzen jetzt Formeln für Summen von Quadratzahlen:

$0^2+1^2+2^2+...+(n-1{)}^2=\frac{1}{6}\cdot (n-1)\cdot n\cdot (2n-1)$

$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{1}{6}\cdot n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)$

Erklärungen für diese Formeln findest du z.B. auf der Seite Summenformeln.

Aufgabe 3 (Eararbeitung) ★★

(a) Erkläre Schritt für Schritt die folgende Umformung.

$\begin{array}{lll}{U}_n& =& (0^2+1^2+2^2...(n-1{)}^2)\cdot (\frac{b}{n}{)}^3\\ & =& \frac{1}{6}\cdot (n-1)\cdot n\cdot (2n-1)\cdot (\frac{b}{n}{)}^3\\ & =& \frac{1}{6}\cdot (n-1)\cdot n\cdot (2n-1)\cdot \frac{b^3}{n^3}\\ & =& \frac{1}{6}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{2n-1}{n}\cdot b^3\end{array}$

(b) Erkläre Schritt für Schritt die folgende Grenzwertbetrachtung.

$\begin{array}{lcccccccccc}{U}_n& =& \frac{1}{6}& \cdot & \frac{n-1}{n}& \cdot & \frac{n}{n}& \cdot & \frac{2n-1}{n}& \cdot & b^3\\ & n\to \mathrm{\infty }& \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & \frac{1}{6}& & 1& & 1& & 2& & b^3\end{array}$

Ergebnis: $U_n\to \frac{1}{3}{b}^3$ für $n\to \mathrm{\infty }$.

(c) Zeige analog: $O_n\to \frac{1}{3}{b}^3$ für $n\to \mathrm{\infty }$.

Aufgabe 4 (Erarbeitung) ★★★

(a) Aus den vorangehenden Überlegungen erhalten wir für die Integrale der Quadratfunktion für das Intervall $0\le x\le b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b>0$ folgende Formel:

$I_0(b)=\frac{1}{3}{b}^3$

Erläutere.

(b) Überprüfe die Richtigkeit der Formel mit Hilfe des Applets.