Beispiel - Integrale herleiten
Die Ausgangssituation klären
Wir betrachten wieder die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$. Ziel ist es, Integrale zu dieser Funktion exakt zu bestimmen.
Zum Herunterladen: unterobersumme3.ggb
Nutze die Animation mit konkreten Einstellungen, um die folgenden Überlegungen zu veranschaulichen.
Formeln für Unter- und Obersummen entwickeln
Wir betrachten ein Intervall $0 \leq x \leq b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b > 0$.
Aufgabe 1
(a) Begründe: Jedes Teilintervall hat die Breite $\frac{b}{n}$. Wir schreiben hierfür auch $\Delta x = \frac{b}{n}$.
(b) Begründe: Die Teilintervalle werden auf der $x$-Achse durch folgende $x$-Werte gebildet:
$0 \cdot \Delta x$, $1 \cdot \Delta x$, $2 \cdot \Delta x$, ..., $(n-1) \cdot \Delta x$, $n \cdot \Delta x$
$x_0 = 0 \cdot \frac{b}{n}$; $x_1 = 1 \cdot \frac{b}{n}$; $x_2 = \cdot \frac{b}{n}$; ...; $x_{n-1} = (n-1) \cdot \frac{b}{n}$; $x_n = n \cdot \frac{b}{n}$
$0 \cdot \frac{b}{n}$; $\quad$ $1 \cdot \frac{b}{n}$; $\quad$ $2 \cdot \frac{b}{n}$; $\quad$ ... $\quad$ $(n-1) \cdot \frac{b}{n}$; $\quad$ $n \cdot \frac{b}{n}$
Aufgabe 2
Erkläre die Einträge in der Tabelle für die Untersumme $U_n$. Ergänze die Angaben in der Tabelle für die Obersumme $O_n$
(a) Untersumme $U_n$:
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe*Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $0 \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad 1 \cdot \frac{b}{n}$ | $f(0 \cdot \frac{b}{n}) = (0 \cdot \frac{b}{n})^2 = 0^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$ | $\frac{b}{n}$ | $0^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$ |
| $1 \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad 2 \cdot \frac{b}{n}$ | $f(1 \cdot \frac{b}{n}) = (1 \cdot \frac{b}{n})^2 = 1^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$ | $\frac{b}{n}$ | $1^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$ |
| $2 \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad 3 \cdot \frac{b}{n}$ | $f(2 \cdot \frac{b}{n}) = (2 \cdot \frac{b}{n})^2 = 2^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$ | $\frac{b}{n}$ | $2^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$ |
| ... | ... | ... | ... |
| $(n-1) \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad n \cdot \frac{b}{n}$ | $f((n-1) \cdot \frac{b}{n}) = ((n-1) \cdot \frac{b}{n})^2 = (n-1)^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$ | $\frac{b}{n}$ | $(n-1)^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$ |
Ergebnis: $U_n = (0^2 + 1^2 + 2^2 ... (n-1)^2) \cdot (\frac{b}{n})^3$
(b) Obersumme $O_n$:
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe*Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $0 \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad 1 \cdot \frac{b}{n}$ | $f(1 \cdot \frac{b}{n}) = (1 \cdot \frac{b}{n})^2 = 1^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$ | $\frac{b}{n}$ | $1^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$ |
| $1 \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad 2 \cdot \frac{b}{n}$ | ... | ... | ... |
| $2 \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad 3 \cdot \frac{b}{n}$ | ... | ... | ... |
| ... | ... | ... | ... |
| $(n-1) \cdot \frac{b}{n} \quad .. \quad n \cdot \frac{b}{n}$ | ... | ... | ... |
Ergebnis: $O_n = ...$
$O_n = (1^2 + 2^2 + 3^2 ... n^2) \cdot (\frac{b}{n})^3$
Grenzwerte der Unter- und Obersummen bestimmen
Wir nutzen jetzt Formeln für Summen von Quadratzahlen:
$0^2 + 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 = \frac{1}{6}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1)$
$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}\cdot n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)$
Erklärungen für diese Formeln findest du z.B. auf der Seite Summenformeln.
Aufgabe 3
(a) Erkläre Schritt für Schritt die folgende Umformung.
$\begin{array}{lll} U_n & = & (0^2 + 1^2 + 2^2 ... (n-1)^2) \cdot (\frac{b}{n})^3 \\ & = & \frac{1}{6}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1) \cdot (\frac{b}{n})^3 \\ & = & \frac{1}{6}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1) \cdot \frac{b^3}{n^3} \\ & = & \frac{1}{6}\cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{2n-1}{n} \cdot b^3 \end{array}$
(b) Erkläre Schritt für Schritt die folgende Grenzwertbetrachtung.
$\begin{array}{lcccccccccc} U_n & = & \frac{1}{6} & \cdot & \frac{n-1}{n} & \cdot & \frac{n}{n} & \cdot & \frac{2n-1}{n} & \cdot & b^3 \\ & n \rightarrow \infty & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & \frac{1}{6} & & 1 & & 1 & & 2 & & b^3 \end{array}$
Ergebnis: Für $n \rightarrow \infty$ gilt $U_n \rightarrow \frac{1}{3} b^3$.
(c) Zeige analog: Für $n \rightarrow \infty$ gilt $O_n \rightarrow \frac{1}{3} b^3$.
Aufgabe 4
(a) Begründe: Aus den vorangehenden Überlegungen erhält man folgende Formel für die Integrale der Quadratfunktion für das Intervall $0 \leq x \leq b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b > 0$:
$I_0(b) = \frac{1}{3} b^3$
(b) Überprüfe die Formel mit Hilfe der Animation (für konkrete $b$-Werte).
