Beispiel – Integrale herleiten
Die Ausgangssituation klären
Wir betrachten wieder die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$. Ziel ist es, Integrale über diese Funktion exakt zu bestimmen.
Zum Herunterladen: unterobersumme3.ggb
Nutze das Applet, um die folgenden Überlegungen zu veranschaulichen.
Formeln für Unter- und Obersummen entwickeln
Wir betrachten ein Intervall $0 \leq x \leq b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b > 0$.
Aufgabe 1 (Eararbeitung) ★
(a) "Jedes Teilintervall hat die Breite $\frac{b}{n}$. Wir schreiben hierfür auch $\Delta x = \frac{b}{n}$." Nimm Stellung zu dieser Behauptung und begründe diese.
(b) Begründe die folgenden Darstellungen der Teilintervalle auf der $x$-Achse:
$[0 \cdot \Delta x \, ;\, 1 \cdot \Delta x]$, $[1 \cdot \Delta x \, ;\, 2 \cdot \Delta x]$, $\dots $, $[(n-1) \cdot \Delta x \, ;\, n \cdot \Delta x]$.
[$x_0 = 0 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, x_1 = 1 \cdot \frac{b}{n}]$, $[x_1 = 1 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, x_2 = 2 \cdot \frac{b}{n}]$, $\dots $, $[x_{n-1} = (n-1) \cdot \frac{b}{n} \, ;\, x_n = n \cdot \frac{b}{n}]$
Aufgabe 2 (Erarbeitung) ★
(a) Erkläre die Einträge in der Tabelle und das Ergebnis für die Untersumme $U_n$:
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe*Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $[0 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 1 \cdot \frac{b}{n}]$ | $f(0 \cdot \frac{b}{n}) = (0 \cdot \frac{b}{n})^2 = 0^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$ | $\frac{b}{n}$ | $0^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$ |
| $[1 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 2 \cdot \frac{b}{n}]$ | $f(1 \cdot \frac{b}{n}) = (1 \cdot \frac{b}{n})^2 = 1^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$ | $\frac{b}{n}$ | $1^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$ |
| $[2 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 3 \cdot \frac{b}{n}]$ | $f(2 \cdot \frac{b}{n}) = (2 \cdot \frac{b}{n})^2 = 2^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$ | $\frac{b}{n}$ | $2^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$ |
| $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[(n-1) \cdot \frac{b}{n} \, ;\, n \cdot \frac{b}{n}]$ | $f((n-1) \cdot \frac{b}{n}) = ((n-1) \cdot \frac{b}{n})^2 = (n-1)^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$ | $\frac{b}{n}$ | $(n-1)^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$ |
Ergebnis: $U_n = (0^2 + 1^2 + 2^2 \dots (n-1)^2) \cdot (\frac{b}{n})^3$
(b) Ergänze die Angaben in der Tabelle für die Obersumme $O_n$. Berechne außerdem das Ergebnis.
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe*Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $[0 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 1 \cdot \frac{b}{n}]$ | $f(1 \cdot \frac{b}{n}) = (1 \cdot \frac{b}{n})^2 = 1^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$ | $\frac{b}{n}$ | $1^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$ |
| $[1 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 2 \cdot \frac{b}{n}]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[2 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, \cdot \frac{b}{n}]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[(n-1) \cdot \frac{b}{n} \, ;\, n \cdot \frac{b}{n}]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
Ergebnis: $O_n = \dots $
$O_n = (1^2 + 2^2 + 3^2 \dots n^2) \cdot (\frac{b}{n})^3$
Grenzwerte der Unter- und Obersummen bestimmen
Wir nutzen jetzt Formeln für Summen von Quadratzahlen:
$0^2 + 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 = \frac{1}{6}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1)$
$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}\cdot n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)$
Erklärungen für diese Formeln findest du z.B. auf der Seite Summenformeln.
Aufgabe 3 (Eararbeitung) ★★
(a) Erkläre Schritt für Schritt die folgende Umformung.
$\begin{array}{lll} U_n & = & (0^2 + 1^2 + 2^2 ... (n-1)^2) \cdot (\frac{b}{n})^3 \\ & = & \frac{1}{6}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1) \cdot (\frac{b}{n})^3 \\ & = & \frac{1}{6}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1) \cdot \frac{b^3}{n^3} \\ & = & \frac{1}{6}\cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{2n-1}{n} \cdot b^3 \end{array}$
(b) Erkläre Schritt für Schritt die folgende Grenzwertbetrachtung.
$\begin{array}{lcccccccccc} U_n & = & \frac{1}{6} & \cdot & \frac{n-1}{n} & \cdot & \frac{n}{n} & \cdot & \frac{2n-1}{n} & \cdot & b^3 \\ & n \rightarrow \infty & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & \frac{1}{6} & & 1 & & 1 & & 2 & & b^3 \end{array}$
Ergebnis: $U_n \rightarrow \frac{1}{3} b^3$ für $n \rightarrow \infty$.
(c) Zeige analog: $O_n \rightarrow \frac{1}{3} b^3$ für $n \rightarrow \infty$.
Aufgabe 4 (Erarbeitung) ★★★
(a) Aus den vorangehenden Überlegungen erhalten wir für die Integrale der Quadratfunktion für das Intervall $0 \leq x \leq b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b > 0$ folgende Formel:
$I_0(b) = \frac{1}{3} b^3$
Erläutere.
(b) Überprüfe die Richtigkeit der Formel mit Hilfe des Applets.
