Beispiel 1
Orientierte Flächeninhalte mit dem Integral bestimmen
Gegeben ist eine lineare Funktion
Gesucht ist der orientierte Flächeninhalt.
Der orientierte Flächeninhalt lässt sich sowohl mit Integralen als auch mit elementaren Flächenberechnungen bestimmen. Zu klären ist, ob jeweils gleiche Ergebnisse erhalten werden.
Aufgabe 1 (Erarbeitung)
Betrachte die im Applet vorgegebene Situation: Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x$. Zudem ist ein Intervall mit den (einstellbaren) Grenzen $a$ und $b$ gegeben.
(a) Betrachte die voreingestellten Grenzen $a = 0$ und $b = 2$. Zeige, dass das Integral $I_0(2) = \int\limits_{0}^{2} x \, dx$ mit dem markierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse im Intervall von $a$ bis $b$ übereinstimmt.
(b) Betrachte weitere $b$-Werte, z. B. $b = 3$, $b = 4$ und $b = 5$. Überprüfe mit geeigneten Rechnungen, ob das Integral $I_0(b) = \int\limits_{0}^{b} x \, dx$ auch in diesen Fällen mit dem markierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$ übereinstimmt.
(c) Betrachte jetzt den Fall $a = -2$ und $b = 0$. Das Applet liefert den Wert des Integral $I_{-2}(0) = \int\limits_{-2}^{0} x \, dx$. Vergleiche diesen Wert mit dem markierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$. Betrachte weitere $a$-Werte, z. B. $a = -1$ und $a = -4$. Was fällt hier auf?
(d) Welchen Wert liefert das Integral, wenn $a = -2$ und $b = 2$? Stelle eine Vermutung auf und überprüfe anschließend mit dem Applet.
(e) Welchen Wert liefert das Integral, wenn $a = -2$ und $b = 4$? Stelle eine Vermutung auf und überprüfe anschließend mit dem Applet.
Zum Herunterladen: orientierteflaecheninhalte1.ggb
Aufgabe 2 (Sicherung)
🖊️ Formuliere eine Regel, wie sich das Integral $I_a(b) = \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ für die Funktion $f$ mit $f(x) = x$ geometrisch deuten lässt.
