Beispiel 1

Orientierte Flächeninhalte mit dem Integral bestimmen

Der orientierte Flächeninhalt lässt sich sowohl mit Integralen als auch mit elementaren Flächenberechnungen bestimmen. Zu klären ist, ob jeweils gleiche Ergebnisse erhalten werden.

Aufgabe 1 (Erarbeitung)

Betrachte die im Applet vorgegebene Situation: Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x$. Zudem ist ein Intervall mit den (einstellbaren) Grenzen $a$ und $b$ gegeben.

(a) Betrachte die voreingestellten Grenzen $a=0$ und $b=2$. Zeige, dass das Integral $I_0(2)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx$ mit dem markierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse im Intervall von $a$ bis $b$ übereinstimmt.

(b) Betrachte weitere $b$-Werte, z. B. $b=3$, $b=4$ und $b=5$. Überprüfe mit geeigneten Rechnungen, ob das Integral $I_0(b)=\underset{0}{\overset{b}{\int }}xdx$ auch in diesen Fällen mit dem markierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$ übereinstimmt.

(c) Betrachte jetzt den Fall $a=-2$ und $b=0$. Das Applet liefert den Wert des Integral $I_{-2}(0)=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}xdx$. Vergleiche diesen Wert mit dem markierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$. Betrachte weitere $a$-Werte, z. B. $a=-1$ und $a=-4$. Was fällt hier auf?

(d) Welchen Wert liefert das Integral, wenn $a=-2$ und $b=2$? Stelle eine Vermutung auf und überprüfe anschließend mit dem Applet.

(e) Welchen Wert liefert das Integral, wenn $a=-2$ und $b=4$? Stelle eine Vermutung auf und überprüfe anschließend mit dem Applet.

Zum Herunterladen: orientierteflaecheninhalte1.ggb

Aufgabe 2 (Sicherung)

🖊️ Formuliere eine Regel, wie sich das Integral $I_a(b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ für die Funktion $f$ mit $f(x)=x$ geometrisch deuten lässt.