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Zusammenfassung – Das Integral als Grenzwert von Produktsummen

Grenzwerte von Produktsummen bilden

Wir betrachten folgende Situation:

Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $a \leq x \leq b$ , das in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegt.

Gesucht ist das Integral über $f$ .

Zum Herunterladen: unterobersumme5.ggb

In dem Intervall $a \leq x \leq b$ wird die Funktion $f$ mit Treppenfunktionen angenähert. Hierzu wird das Intervall $a \leq x \leq b$ in $n$ Teile zerlegt.
Die untere Treppenfunktion ist so festgelegt, dass die "Treppenhöhe" jeweils dem kleinsten Funktionswert von $f$ im betreffenden Teilintervall entspricht. Die obere Treppenfunktion ist analog durch den jweiligen größten Funktionswert festgelegt.
Zu den beiden Treppenfunktion werden die Produktsummen gebildet. Hierzu werden alle zum Intervall gehörenden Terme der Gestalt "Stufenhöhe mal Stufenbreite" aufsummiert. Beachte, dass die Stufenhöhe auch eine negative Zahl sein kann.
Die Produktsumme zur unteren Treppenfigur liefert die Untersumme $U_{n}$ , die Produktsumme zur oberen Treppenfigur analog die Obersumme $O_{n}$ .
Unter- und Obersumme lassen sich als orientierte Flächeninhalte zu den entsprechenden Treppenfiguren (passend zu den Treppenfunktionen) deuten. Beachte, dass dabei Flächeninhalte unterhalb der $x$ -Achse negativ gezählt werden.

Mit dem Integralbegriff wird der Grenzwert von Unter- und Obersummen beschrieben.

Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $a \leq x \leq b$ (das ganz in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegt). Wenn sich die zugehörigen Untersummen $U_{n}$ und die Obersummen $O_{n}$ für $n \to \infty$ einem gemeinsamen Grenzwert $I_{a} (b)$ annähern, dann wird dieser Grenzwert Integral über $f$ von $a$ bis $b$ genannt.

Wie im letzten Kapitel gezeigt, wird das so gebildete Integral in Anwendunbgssituationen zur Rekonstruktion eines Bestandes aus seinen Änderungsraten genutzt.

Geometrisch lässt sich das Integral mit Hilfe von Flächeninhalten deuten:

Das Integral $I_{a} (b)$ über $f$ von $a$ bis $b$ lässt sich als orientierter Flächeninhalt von $f$ zum Intervall $a \leq x \leq b$ deuten.

Diese geometrische Deutung wird im nächsten Kapitel näher betrachtet.

Die Integralschreibweise verwenden

Das Integral über $f$ von $a$ bis $b$ wird auch so geschrieben:

$I_{a} (b) = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Diese Schreibweise hat folgenden Hintergrund:

Das Integral $I_{a} (b)$ ist der Grenzwert von Untersummen bzw. Obersummen, die jeweils die folgende Struktur haben:

$U_{n}$ : Summe von Produkten der Gestalt $\underset{Stufenhöhe}{\underset{⏟}{f (x)}} \cdot \underset{Stufenbreite}{\underset{⏟}{Δ x}}$ .

$O_{n}$ : Summe von Produkten der Gestalt $\underset{Stufenhöhe}{\underset{⏟}{f (x)}} \cdot \underset{Stufenbreite}{\underset{⏟}{Δ x}}$ .

In jedem Teilintervall wird die Stufenhöhe durch einen Funktionswert $f (x)$ für ein passend gewähltes $x$ bestimmt. Die Stufenbreite $Δ x$ entspricht der Länge des Gesamtintervalls dividiert durch die Anzahl der Unterteilungen.

Wenn das Zeichen $\int$ für (S)ummen sowie $d x$ für $Δ x$ genutzt wird, dann lässt sich die Grundidee des Integrals so darstellen:

$\begin{array}{lll} O_{n} & = & \int umme von Produkten der Gestalt f (x) \cdot Δ x \\ ↓ & n \to \infty \\ I_{a} (b) & = & \int_{a}^{b} f (x) d x \\ ↑ & n \to \infty \\ U_{n} & = & \int umme von Produkten der Gestalt f (x) \cdot Δ x \end{array}$

Diese Integralschreibweise ist historisch bedingt und hat sich im Laufe der Zeit durchgesetzt.

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Die Integralschreibweise verwenden

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