Zusammenfassung – Das Integral als Grenzwert von Produktsummen
Grenzwerte von Produktsummen bilden
Wir betrachten folgende Situation:Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $a \leq x \leq b$, das in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegt.
Gesucht ist das Integral über $f$.
Zum Herunterladen: unterobersumme5.ggb
- In dem Intervall $a \leq x \leq b$ wird die Funktion $f$ mit Treppenfunktionen angenähert. Hierzu wird das Intervall $a \leq x \leq b$ in $n$ Teile zerlegt.
- Die untere Treppenfunktion ist so festgelegt, dass die "Treppenhöhe" jeweils dem kleinsten Funktionswert von $f$ im betreffenden Teilintervall entspricht. Die obere Treppenfunktion ist analog durch den jweiligen größten Funktionswert festgelegt.
- Zu den beiden Treppenfunktion werden die Produktsummen gebildet. Hierzu werden alle zum Intervall gehörenden Terme der Gestalt "Stufenhöhe mal Stufenbreite" aufsummiert. Beachte, dass die Stufenhöhe auch eine negative Zahl sein kann.
- Die Produktsumme zur unteren Treppenfigur liefert die Untersumme $U_n$, die Produktsumme zur oberen Treppenfigur analog die Obersumme $O_n$.
- Unter- und Obersumme lassen sich als orientierte Flächeninhalte zu den entsprechenden Treppenfiguren (passend zu den Treppenfunktionen) deuten. Beachte, dass dabei Flächeninhalte unterhalb der $x$-Achse negativ gezählt werden.
Mit dem Integralbegriff wird der Grenzwert von Unter- und Obersummen beschrieben.
Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $a \leq x \leq b$ (das ganz in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegt). Wenn sich die zugehörigen Untersummen $U_n$ und die Obersummen $O_n$ für $n \rightarrow \infty$ einem gemeinsamen Grenzwert $I_a(b)$ annähern, dann wird dieser Grenzwert Integral über $f$ von $a$ bis $b$ genannt.
Wie im letzten Kapitel gezeigt, wird das so gebildete Integral in Anwendunbgssituationen zur Rekonstruktion eines Bestandes aus seinen Änderungsraten genutzt.
Geometrisch lässt sich das Integral mit Hilfe von Flächeninhalten deuten:
Das Integral $I_a(b)$ über $f$ von $a$ bis $b$ lässt sich als orientierter Flächeninhalt von $f$ zum Intervall $a \leq x \leq b$ deuten.
Diese geometrische Deutung wird im nächsten Kapitel näher betrachtet.
Die Integralschreibweise verwenden
Das Integral über $f$ von $a$ bis $b$ wird auch so geschrieben:
$I_a(b) = \int\limits_a^b f(x) dx$
Diese Schreibweise hat folgenden Hintergrund:
Das Integral $I_a(b)$ ist der Grenzwert von Untersummen bzw. Obersummen, die jeweils die folgende Struktur haben:
$U_n$: Summe von Produkten der Gestalt $\underbrace{f(x)}_{\text{Stufenhöhe}} \cdot \underbrace{\Delta x}_{\text{Stufenbreite}}$.
$O_n$: Summe von Produkten der Gestalt $\underbrace{f(x)}_{\text{Stufenhöhe}} \cdot \underbrace{\Delta x}_{\text{Stufenbreite}}$.
In jedem Teilintervall wird die Stufenhöhe durch einen Funktionswert $f(x)$ für ein passend gewähltes $x$ bestimmt. Die Stufenbreite $\Delta x$ entspricht der Länge des Gesamtintervalls dividiert durch die Anzahl der Unterteilungen.
Wenn das Zeichen $\int$ für (S)ummen sowie $dx$ für $\Delta x$ genutzt wird, dann lässt sich die Grundidee des Integrals so darstellen:
$\begin{array}{lll} O_n & = & \int \text{umme von Produkten der Gestalt } f(x) \cdot \Delta x \\ & \downarrow & n \rightarrow \infty \\ I_a(b) & = & \int\limits_a^b f(x) dx \\ & \uparrow & n \rightarrow \infty \\ U_n & = & \int \text{umme von Produkten der Gestalt } f(x) \cdot \Delta x \end{array}$
Diese Integralschreibweise ist historisch bedingt und hat sich im Laufe der Zeit durchgesetzt.
