Exemplarische Betrachtungen

Potenzfunktionen betrachten

Wir betrachten hier Potenzfunktionen als Randfunktionen – also Funktionen mit Funktionstermen der Gestalt $f(x) = x^n$, $n\in\mathbb{N}$. Im Applet kannst du den Exponenten $n$ passend eingeben.

Zum Herunterladen: integralpotenzfunktionen.ggb

Bearbeite die folgenden Aufgaben und ergänze dabei die fehlenden Einträge in der Tabelle:

$f(x)$	$I_0(x)$	$A(x)$	$I_0(x) = \dots \cdot A(x)$	$I_0'(x)$
$f(x) = x^0 = 1$	$I_0(x) = x$	$A(x) = x$	$I_0(x) = 1 \cdot A(x)$	$I_0'(x) = \dots $
$f(x) = x^1 = x$	$I_0(x) = \dots $	$A(x) = \dots $	$I_0(x) = \dots \cdot A(x)$	$I_0'(x) = \dots $
$f(x) = x^2$	$I_0(x) = \dots $	$A(x) = \dots $	$I_0(x) = \dots \cdot A(x)$	$I_0'(x) = \dots $
$f(x) = x^3$	$I_0(x) = \dots $	$A(x) = \dots $	$I_0(x) = \dots \cdot A(x)$	$I_0'(x) = \dots $
$f(x) = x^4$	$I_0(x) = \dots $	$A(x) = \dots $	$I_0(x) = \dots \cdot A(x)$	$I_0'(x) = \dots $
$f(x) = x^5$	$I_0(x) = \dots $	$A(x) = \dots $	$I_0(x) = \dots \cdot A(x)$	$I_0'(x) = \dots $

Aufgabe 1 (Erarbeitung) ★

Betrachte die folgenden Fälle:

(a) Den Fall $n = 0$ haben wir bereits betrachtet – es gilt dann $f(x) = 1$. Begründe noch einmal geometrisch, dass hier $I_0(x) = x$ gilt.

(b) Den Fall $n = 1$ haben wir auch bereits betrachtet – es gilt dann $f(x) = x$. Begründe auch hier noch einmal geometrisch, dass hier $I_0(x) = \frac{1}{2}x^2$ gilt.

(c) Den Fall $n = 2$ haben wir ebenfalls schon betrachtet – es gilt dann $f(x) = x^2$. Mit Hilfe von Grenzwerten von Produktsummen haben wir das Ergebnis $I_0(x) = \frac{1}{3}x^3$ erhalten. Erläutere.

Aufgabe 2 (Erarbeitung und Sicherung) ★★

Betrachte die folgenden Fälle:

(a) Betrachte den Fall $n = 3$. Es gilt dann $f(x) = x^3$. Stelle zuerst eine Vermutung über $I_0(x)$ auf und stelle dein Ergebnis so dar: Für $f(x) = x^3$ gilt $I_0(x) = \dots $.
Überprüfe dein Ergebnis mit dem Applet.

(b)🖊️ Betrachte im Applet auch die Fälle $n = 4$ und $n = 5$. Formuliere eine allgemeine Regel:
Für $f(x) = x^n$ gilt $I_0(x) = \dots $.

(c) Im Applet lässt sich ein Rechteck einblenden. Das Rechteck zur Stelle $x$ wird passend zur Funktion $f$ mit Funktionsterm $f(x) = x^n$ gebildet und besitzt dann den Flächeninhalt $A(x) = x^{n+1}$.
Der durch $I_0(x)$ dargestellte Flächeninhalt zur Funktion $f$ ergibt jeweils einen bestimmten Anteil am Rechteckflächeninhalt $A(x)$. Beschreibe, wie dieser Anteil zustande kommt.

Aufgabe 3 (Sicherung)

🖊️ Bestimme jeweils die Ableitung von $I_0(x)$. Was fällt auf? Formuliere den gefundenen Zusammenhang. Formuliere die Regel in der Form: Für $f(x) = x^n$ gilt $I_0'(x) = \dots $.