Exemplarische Betrachtungen

Potenzfunktionen betrachten

Wir betrachten hier Potenzfunktionen als Randfunktionen – also Funktionen mit Funktionstermen der Gestalt $f(x)=x^n$, $n\in \mathbb{N}$. Im Applet kannst du den Exponenten $n$ passend eingeben.

Zum Herunterladen: integralpotenzfunktionen.ggb

Bearbeite die folgenden Aufgaben und ergänze dabei die fehlenden Einträge in der Tabelle:

$f(x)$	$I_0(x)$	$A(x)$	$I_0(x)=\cdots \cdot A(x)$	$I_0^{\prime }(x)$
$f(x)=x^0=1$	$I_0(x)=x$	$A(x)=x$	$I_0(x)=1\cdot A(x)$	$I_0^{\prime }(x)=\dots$
$f(x)=x^1=x$	$I_0(x)=\dots$	$A(x)=\dots$	$I_0(x)=\cdots \cdot A(x)$	$I_0^{\prime }(x)=\dots$
$f(x)=x^2$	$I_0(x)=\dots$	$A(x)=\dots$	$I_0(x)=\cdots \cdot A(x)$	$I_0^{\prime }(x)=\dots$
$f(x)=x^3$	$I_0(x)=\dots$	$A(x)=\dots$	$I_0(x)=\cdots \cdot A(x)$	$I_0^{\prime }(x)=\dots$
$f(x)=x^4$	$I_0(x)=\dots$	$A(x)=\dots$	$I_0(x)=\cdots \cdot A(x)$	$I_0^{\prime }(x)=\dots$
$f(x)=x^5$	$I_0(x)=\dots$	$A(x)=\dots$	$I_0(x)=\cdots \cdot A(x)$	$I_0^{\prime }(x)=\dots$

Aufgabe 1 (Erarbeitung) ★

Betrachte die folgenden Fälle:

(a) Den Fall $n=0$ haben wir bereits betrachtet – es gilt dann $f(x)=1$. Begründe noch einmal geometrisch, dass hier $I_0(x)=x$ gilt.

(b) Den Fall $n=1$ haben wir auch bereits betrachtet – es gilt dann $f(x)=x$. Begründe auch hier noch einmal geometrisch, dass hier $I_0(x)=\frac{1}{2}{x}^2$ gilt.

(c) Den Fall $n=2$ haben wir ebenfalls schon betrachtet – es gilt dann $f(x)=x^2$. Mit Hilfe von Grenzwerten von Produktsummen haben wir das Ergebnis $I_0(x)=\frac{1}{3}{x}^3$ erhalten. Erläutere.

Aufgabe 2 (Erarbeitung und Sicherung) ★★

Betrachte die folgenden Fälle:

(a) Betrachte den Fall $n=3$. Es gilt dann $f(x)=x^3$. Stelle zuerst eine Vermutung über $I_0(x)$ auf und stelle dein Ergebnis so dar: Für $f(x)=x^3$ gilt $I_0(x)=\dots$.
Überprüfe dein Ergebnis mit dem Applet.

(b)🖊️ Betrachte im Applet auch die Fälle $n=4$ und $n=5$. Formuliere eine allgemeine Regel:
Für $f(x)=x^n$ gilt $I_0(x)=\dots$.

(c) Im Applet lässt sich ein Rechteck einblenden. Das Rechteck zur Stelle $x$ wird passend zur Funktion $f$ mit Funktionsterm $f(x)=x^n$ gebildet und besitzt dann den Flächeninhalt $A(x)=x^{n+1}$.
Der durch $I_0(x)$ dargestellte Flächeninhalt zur Funktion $f$ ergibt jeweils einen bestimmten Anteil am Rechteckflächeninhalt $A(x)$. Beschreibe, wie dieser Anteil zustande kommt.

Aufgabe 3 (Sicherung)

🖊️ Bestimme jeweils die Ableitung von $I_0(x)$. Was fällt auf? Formuliere den gefundenen Zusammenhang. Formuliere die Regel in der Form: Für $f(x)=x^n$ gilt $I_0^{\prime }(x)=\dots$.