Integralfunktion als Stammfunktion
Neue Zusammenhänge herstellen
Im den letzten Kapitel wurden folgende Zusammenhänge gezeigt:
Wenn eine Integralfunktion $I_a$ zu einer Randfunktion $f$ abgeleitet, dann erhälten wir die Randfunktion $f$.
Wenn eine Funktion $f$ integriert wird, erhalten wir eine Stammfunktion $F$ zur Ausgangsfunktion $f$. Alle weiteren Stammfunktionen unterscheiden sich von $F$ nur durch eine additive Konstante $c$.
Aufgabe 1 (Einstieg)
Begründe mit Hilfe der bisherigen Erkenntnisse die folgenden neuen Zusammenhänge:
Ist $I_a(x)$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f(x)$, so ist $I_a(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.
Ist $I_a(x)$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f(x)$ und $F(x)$ eine beliebige Stammfunktion von $f(x)$, so gilt $I_a(x) = F(x) + c$ mit einer reellen Zahl $c$.
Zusammenhänge ausnutzen
Wir nutzen die neuen Zusammenhänge, um Integralfunktionen zu bestimmen. Dabei wird das folgende Problem bearbeitet:
Gegeben ist eine Randfunktion $f$ und eine untere Grenze $a$ mit einem $a$ aus dem Definitionsbereich von $f$.
Gesucht ist die Integralfunktion $I_a$ zur Randfunktion $f$.
Aufgabe 2 (Erarbeitung)
(a) Rechne nach, dass im Applet unten $F$ wirklich eine Stammfunktion von $f$ darstellt.
(b) Begründe, dass das voreingestellte $F$ nicht die gesuchte Integralfunktion darstellt.
💡 Tipp
Verschiebe dafür $x$ geeignet, um zu verdeutlichen, dass die im unteren Feld markierten Werte von $I_a$ nicht zum Graphen oben passen.
(c) Es gibt eine bestimmte Stelle $x$, für die $I_a(x)$ immer bekannt ist. Nutze diese Stelle, um die Zahl $c$ mit dem Schieberegler korrekt einzustellen. Kontrolliere dein Ergebnis, indem du das Kontrollkästchen aktivierst.
Wie funktioniert das Applet?
Klicke erst einmal nicht auf das Kontrollkästchen „Integralfunktion $I_a(x)$“!
Lasse im Applet erst einmal $f(x)$ und $a$ unverändert und verschiebe nur die Stelle $x$ im unteren Fenster sowie den Schieberegler $c$ im oberen Fenster.
Zum Herunterladen: integralfunktionalsstammfunktion1.ggb
Aufgabe 3 (Erarbeitung)
Begründe den folgenden Zusammenhang:
Ist $I_a$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f$ und $F$ eine beliebige Stammfunktion von $f$, so gilt $I_a(x) = F(x) - F(a)$.
💡 Tipp
Benutze die Eigenschaft von Integralfunktionen, die du in Aufgabe 2 (c) gefunden hast.
