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Zusammenfassung - Stammfunktionen

Grundidee und Präzisierung

Ableiten und Aufleiten sind zwei inverse Operationen. Sie erzeugen aus einer Funktion jeweils eine andere Funktion.

Ableiten und aufleiten

Beim Ableiten entsteht aus einer Ausgangsfunktion $f$ eine Ableitungsfunktion $f'$. Beim Aufleiten entsteht aus einer Ausgangsfunktion $f$ eine Funktion $F$, die man als Stammfunktion von $f$ bezeichnet.

Eine Funktion $F$ nennt man Stammfunktion von $f$ genau dann, wenn $F'(x) = f(x)$ gilt bzw. wenn $f$ die Ableitungsfunktion von $F$ ist.

Das Applet verdeutlicht eine Situation mit einer Ausgangsfunktion $f$ und einer zugehörigen Stammfunktion $F$.

Zum Herunterladen: stammfunktionen3.ggb

Bestimmung von Stammfunktionen

Bei der Bestimmung von Stammfunktionen bearbeitet man das folgende Problem.

Gegeben ist eine Ausgangsfunktion $f$.

Gesucht ist eine Stammfunktion $F$ von $f$ (d.h. es muss $F'(x) = f(x)$ gelten).

Bei ganzrationalen Funktionen ist die Bestimmung von Stammfunktionen recht einfach: Man leitet auf, indem man Ableitungsregeln umgekehrt anwendet.

$\begin{array}{ccl} F(x) & = & \frac{1}{5}x^5 + 2 \cdot \frac{1}{4} x^4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 1 \cdot x = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{2} x^4 - \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - x \\ \uparrow & & \\ f(x) & = & x^4 + 2 x^3 - \frac{1}{2} x^2 + x - 1 \end{array}$

Hierbeit nutzt man u.a. die folgende Regel für Potenzfunktionen:

Wenn $f(x) = x^n$ (mit einer natürlichen Zahl $n$), dann ist $F(x) = \frac{1}{n+1} x^{n+1}$ eine Stammfunktion von $f$.

Gesamtheit aller Stammfunktionen

Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann erhält man weitere Stammfunktionen, indem man additive Konstanten hinzufügt. Die fallen beim Ableiten dann wieder weg. Man stellt das dann meist so dar:

$\begin{array}{cclll} F(x) & = & \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{2} x^4 - \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - x + c & \text{mit} & c \in \mathbb{R} \\ \uparrow & & \\ f(x) & = & x^4 + 2 x^3 - \frac{1}{2} x^2 + x - 1 \end{array}$

Es gilt der folgende Satz über Stammfunktionen:

(A) Wenn die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann ist auch die Funktion $G$ mit $G(x) = F(x) + c$ eine Stammfunktion von $f$ (für alle reellen Zahlen $c$).

(B) Wenn die Funktionen $F$ und $G$ Stammfunktionen von $f$ sind, dann unterscheiden sie sich nur durch eine additive Konstante, d.h. es gibt eine reelle Zahl $c$ so dass $F(x) = G(x) + c$ gilt.

Umgangssprachlich kann man die beiden Teilsätze so formulieren:

Satz A: "Kennt man eine Stammfunktion von einer Ausgangsfunktion, dann kennt man unendlich viele Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion."

Satz B: "Kennt man eine Stammfunktion von einer Ausgangsfunktion, dann kennt man alle Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion."

Satz A ist direkt einsichtig, da beim Ableiten die additive Konstante wieder wegfällt.

Satz B lässt sich auch leicht begründen: Wenn $F$ und $G$ Stammfunktionen von $f$ sind, dann gilt $F'(x) = f(x)$ und $G'(x) = f(x)$. Für die Hilfsfunktion $H$ mit $H(x) = F(x) - G(x)$ gilt dann $H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0$. Die Funktion $H$ hat demnach überall die Steigung $0$. Es ist plausibel, dass der Graph der Funktion $H$ dann eine Parallele zur $x$-Achse darstellt bzw. dass die Funktion $H$ eine konstante Funktion mit $H(x) = c$ ist. Also gilt $F(x) - G(x) = c$. Die Stammfunktionen $F$ und $G$ unterscheiden sich folglich nur durch eine additive Konstante.

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