Zusammenfassung – Stammfunktionen

Grundidee und Präzisierung

Ableiten und "Aufleiten" sind zwei inverse Operationen. Durch die jeweilige Operation entsteht aus einer Funktion jeweils eine andere Funktion.

Beim Ableiten entsteht aus einer Ausgangsfunktion $f$ eine Ableitungsfunktion $f^{\prime }$. Beim "Aufleiten" entsteht aus einer Ausgangsfunktion $f$ eine Funktion $F$, die als Stammfunktion von $f$ bezeichnet wird.

Das Applet verdeutlicht eine Situation mit einer Ausgangsfunktion $f$ und einer zugehörigen Stammfunktion $F$:

Zum Herunterladen: stammfunktionen3.ggb

Bestimmung von Stammfunktionen

Bei der Bestimmung von Stammfunktionen wird das folgende Problem bearbeitet:

Bei ganzrationalen Funktionen ist die Bestimmung von Stammfunktionen recht einfach: Integriert wird, indem die Ableitungsregeln umgekehrt anwendet werden.

Hierbei wird u.a. die folgende Regel für Potenzfunktionen genutzt:

Gesamtheit aller Stammfunktionen

Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann erhält man weitere Stammfunktionen, indem man additive Konstanten hinzufügt, welche beim Ableiten wieder wegfallen. Meist wird dies folgendermaßen dargestellt:

Es gelten die folgenden Sätze über Stammfunktionen:

Diese beiden Behauptungen können folgendermaßen begründet werden:

Satz A ist direkt einsichtig, da beim Ableiten die additive Konstante wieder wegfällt.

Satz B lässt sich auch leicht begründen:
Wenn $F$ und $G$ Stammfunktionen von $f$ sind, dann gilt $F^{\prime }(x)=f(x)$ und $G^{\prime }(x)=f(x)$ für jedes $x\in \mathbb{R}$.
Für die Hilfsfunktion $H$ mit $H(x)=F(x)-G(x)$ gilt dann: $H^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)-G^{\prime }(x)=f(x)-f(x)=0$ für jedes $x\in \mathbb{R}$.
Die Funktion $H$ hat demnach überall die Steigung $0$.
Es ist plausibel, dass der Graph der Funktion $H$ dann eine Parallele zur $x$-Achse darstellt bzw. dass die Funktion $H$ eine konstante Funktion mit $H(x)=c$ für ein $c\in \mathbb{R}$ ist. Also gilt $F(x)-G(x)=c$ für jedes $x\in \mathbb{R}$.
Die Stammfunktionen $F$ und $G$ unterscheiden sich folglich nur durch eine additive Konstante $c$.

Umgangssprachliche Formulierung der beiden Teilsätze

Satz A: "Kennt man eine Stammfunktion von einer Ausgangsfunktion, dann kennt man unendlich viele Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion."

Satz B: "Kennt man eine Stammfunktion von einer Ausgangsfunktion, dann kennt man alle Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion."