Strukturierung – Integralfunktion
Integrale mit einer Integralfunktion beschreiben
Betrachte die Situation, dass eine Randfunktion $f$ und eine Zahl $a\in D_f$ gegeben sind. Für verschiedene $x$-Werte lässt sich nun das Integral mit $I_a(x)$ bestimmen.
Zum Herunterladen: integralfunktion8.ggb
Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{2}x$ und die Stelle $a = 0$.
Gesucht sind die Integralwerte $I_a(x)$ für verschiedene bzw. beliebige $x$-Werte.
Aufgabe 1 (Erarbeitung)
(a) Ergänze die fehlenden Einträge in der Tabelle.
| $x$ | $I_a(x)$ |
|---|---|
| $0$ | $0$ |
| $2$ | $\dots $ |
| $4$ | $\dots $ |
| $\dots $ | $\dots $ |
| $x$ | $\frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{2}x = \frac{1}{4} x^2$ |
(b) Begründe die Formel $I_a(x) = \frac{1}{4} x^2$ mit Hilfe einer Flächenberechnung.
Aufgabe 2 (Sicherung)
🖊️ Ergänze die folgende Begriffklärung.
Betrachte die Ausgangssituation, dass eine Randfunktion $f$ und eine Zahl $a$ aus der Definitionsmenge von $f$ gegegeben ist. Die Integralfunktion $I_a$ ordnet jedem $x$ $\dots $
Aufgabe 3 (Vertiefung)
Im Applet lassen sich auch $x$-Werte einstellen, die links von $a$ liegen.
Erläutere, dass es – auch in solchen Fällen – Sinn ergibt das Integral von $f$ von $a$ bis $x$ zu bestimmen.
Info:
Dabei ist es allerdings nötig die Orientierung von Flächeninhalten neu festzulegen.
Die Unterscheidung zwischen "liegt unterhalb der $x$-Achse" und "liegt oberhalb der $x$-Achse" reicht dann nicht mehr.
Bei einer Neufestlegung lässt sich stattdessen der Umlaufsinn aus dem Applet hier nutzen.
