Übungen – Berechnung von Integralen

Grundaufgaben

Aufgabe 1 – Integrale berechnen

Berechne die Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen. Überprüfe die Ergebnisse im Applet.

(a) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}(x+\frac{1}{2})dx$

(b) $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}(-x^2+2)dx$

(c) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}(-x^3+2x^2)dx$

(d) $\underset{-1}{\overset{3}{\int }}\left(1\right)dx$

(e) $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}(\frac{1}{2}{x}^4-2x^2)dx$

(f) $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}(\frac{1}{4}{x}^4-x^3)dx$

Applet zur Überprüfung:

Zum Herunterladen: integralschreibweise2.ggb

Aufgabe 2 – Fehlersuche

Finde die Fehler in den Rechnungen und korrigiere sie:

(a) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}(3x^2+4)dx={[x^3+4x]}_1^4=(3\cdot 4^2+4)-(3\cdot 1^2+4)=52-7=45.$

(b) $\underset{3}{\overset{1}{\int }}\left(4\right)dx={\left[4x\right]}_3^1=4\cdot 3-4\cdot 1=12-4=8.$

(c) $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}(-2x^2)dx={[-\frac{2}{3}{x}^3]}_{-2}^2=(-\frac{2}{3})\cdot 2^3+(-\frac{2}{3})\cdot (-2{)}^3=-\frac{16}{3}+\frac{16}{3}=0.$

(d) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^4\right)dx={\left[4x^3\right]}_0^3=4\cdot 3^3-4\cdot 0^3=108-0=108.$

(e) $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(4x^3\right)dx={\left[x^4\right]}_{-2}^2=2^4=16.$

Aufgabe 3 – Paare finden

Quelle: LearningApps.

Anwendung

Aufgabe 4 – freier Fall

Wir betrachten einen Stein, der im freien Fall nach unten fällt. Aus dem Physikunterricht kennst du die Formel $v(t)=9,81\frac{m}{s^2}\cdot t$ ($t$ in Sekunden und $v$ in $m$ pro $s$), mit der du die Geschwindigkeit bestimmen kannst.

(a) Nutze diese Formel und die Integralrechnung, um die gesamte Strecke $s(5)$ zu bestimmen, die der Stein innerhalb von fünf Sekunden nach unten fällt.

(b) Im Kapitel zur Differentialrechnung hast du die Faustformel $s(t)=5t^2$ hergeleitet. Bestimme jetzt die exakte Formel mithilfe der Integralrechnung.

Rechenregeln für Integrale

Aufgabe 5 – Integrationsgrenzen vertauschen

Uwe behauptet, dass folgende Regel gilt.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

(a) Überprüfe dies mit Hilfe von selbst gewählten Beispielen.

(b) Begründe die Regel allgemein.

Aufgabe 6 – Regeln der Integralrechnung finden

Welche der folgenden Regeln gelten in der Integralrechnung? Finde das mit Beispielen heraus.

(a) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)+g(x))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$

(b) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)-g(x))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$

(c) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)\cdot g(x))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$

(d) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(c\cdot f(x))dx=c\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

🚀 Wenn du ganz fit bist, dann begründe auch die gefundenen Regeln.

Umkehrung

Aufgabe 7 – Finden oberer Schranken

(a) $f(x)=1$, $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=3$, $a=1$.

(b) $f(x)=3x^2$, $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=8$, $a=0$

(c) $f(x)=3x^2$, $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=26$, $a=1$

(d) $f(x)=3$, $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-9$, $a=0$