Übungen – Berechnung von Integralen

Grundaufgaben

Aufgabe 1 – Integrale berechnen

Berechne die Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen. Überprüfe die Ergebnisse im Applet.

(a) $\int\limits_{-2}^{1} \left( x + \frac{1}{2} \right) dx$

(b) $\int\limits_{-2}^{2} \left( -x^2 + 2 \right) dx$

(c) $\int\limits_{0}^{2} \left( -x^3 + 2x^2 \right) dx$

(d) $\int\limits_{-1}^{3} \left( 1 \right) dx$

(e) $\int\limits_{-2}^{2} \left( \frac{1}{2} x^4 -2 x^2 \right) dx$

(f) $\int\limits_{-1}^{2} \left( \frac{1}{4} x^4 - x^3 \right) dx$

Applet zur Überprüfung:

Zum Herunterladen: integralschreibweise2.ggb

Aufgabe 2 – Fehlersuche

Finde die Fehler in den Rechnungen und korrigiere sie:

(a) $\int\limits_1^4 \left( 3x^2+4 \right) dx = \left[ x^3 + 4x \right]_1^4 = \left( 3\cdot 4^2 + 4 \right) - \left( 3\cdot 1^2 + 4 \right) = 52 - 7 = 45.$

(b) $\int\limits_{3}^1 \left( 4 \right) dx = \left[ 4x \right]_{3}^1 = 4\cdot 3 - 4\cdot 1 = 12 - 4 = 8. $

(c) $\int\limits_{-2}^2 \left( -2x^2 \right) dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 \right]_{-2}^2 = (-\frac{2}{3})\cdot 2^3 + (-\frac{2}{3}) \cdot (-2)^3 = -\frac{16}{3} + \frac{16}{3} = 0. $

(d) $\int\limits_0^3 \left( x^4 \right) dx = \left[ 4x^3 \right]_0^3 = 4\cdot 3^3 - 4\cdot 0^3 = 108 - 0 = 108.$

(e) $\int\limits_{-2}^2 \left( 4x^3 \right) dx = \left[ x^4 \right]_{-2}^2 = 2^4 = 16.$

Aufgabe 3 – Paare finden

Quelle: LearningApps.

Anwendung

Aufgabe 4 – freier Fall

Wir betrachten einen Stein, der im freien Fall nach unten fällt. Aus dem Physikunterricht kennst du die Formel $v(t) = 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t$ ($t$ in Sekunden und $v$ in $m$ pro $s$), mit der du die Geschwindigkeit bestimmen kannst.

(a) Nutze diese Formel und die Integralrechnung, um die gesamte Strecke $s(5)$ zu bestimmen, die der Stein innerhalb von fünf Sekunden nach unten fällt.

💡Tipp

$s' = v$. Oder anders ausgedrückt: $s$ ist eine Stammfunktion von $v$. Dies können wir zur Rekonstruktion von $s$ verwenden.

(b) Im Kapitel zur Differentialrechnung hast du die Faustformel $s(t) = 5t^2$ hergeleitet. Bestimme jetzt die exakte Formel mithilfe der Integralrechnung.

💡Tipp

Du möchtest eine Formel für $s(t)$ herleiten. Nutze, dass $s$ eine Stammfunktion von $v$ ist, um die Formel für $s$ aus der Formel für $v$ zu gewinnen.

Rechenregeln für Integrale

Aufgabe 5 – Integrationsgrenzen vertauschen

Uwe behauptet, dass folgende Regel gilt.

$\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = - \int\limits_{b}^{a} f(x) dx$

(a) Überprüfe dies mit Hilfe von selbst gewählten Beispielen.

(b) Begründe die Regel allgemein.

Aufgabe 6 – Regeln der Integralrechnung finden

Welche der folgenden Regeln gelten in der Integralrechnung? Finde das mit Beispielen heraus.

(a) $\int\limits_{a}^{b} (f(x)+g(x)) dx = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx + \int\limits_{a}^{b} g(x) dx$

(b) $\int\limits_{a}^{b} (f(x)-g(x)) dx = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx - \int\limits_{a}^{b} g(x) dx$

(c) $\int\limits_{a}^{b} (f(x) \cdot g(x)) dx = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx \cdot \int\limits_{a}^{b} g(x) dx$

(d) $\int\limits_{a}^{b} (c \cdot f(x)) dx = c \cdot \int\limits_{a}^{b} f(x) dx$

🚀 Wenn du ganz fit bist, dann begründe auch die gefundenen Regeln.

Umkehrung

Aufgabe 7 – Finden oberer Schranken

(a) $f(x) = 1$, $\int\limits_{a}^b f(x) dx = 3$, $a = 1$.

💡Tipp

Bestimme zuerst eine Stammfunktion $F$. Es gilt dann: $F(b) - F(a) = 3$; mache dir klar, wieso. Setze nun $a$ in die Gleichung ein und stelle sie um, damit $b$ alleine steht.

(b) $f(x) = 3x^2$, $\int\limits_{a}^b f(x) dx=8$, $a = 0$

(c) $f(x) = 3x^2$, $\int\limits_{a}^b f(x) dx=26$, $a = 1$

(d) $f(x) = 3$, $\int\limits_{a}^b f(x) dx-9$, $a = 0$