Strukturierung – Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Einen Zusammenhang zwischen Randfunktion und Integralfunktion herstellen
Die Integralfunktion $I_a$ entsteht aus einer vorgegebenen Randfunktion $f$ und einer unteren Grenze $a$ durch Integralberechnungen (d.h. geometrisch mit Hilfe orientierter Flächeninhalte bzw. analytisch mit Hilfe von Grenzwerten von Produktsummen).
In den vorangehenden Abschnitten wurde auf unterschiedliche Weisen verdeutlicht, dass es zwischen einer Randfunktion $f$ und den zugehörigen Integralfunktionen $I_a$ einen fundamentalen Zusammenhang gibt: Die Ableitung der Integralfunktionen $I_a$ liefert die ursprüngliche Randfunktion $f$.
Das Applet verdeutlicht diesen Zusammenhang anhand eines Beispiels:
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Aufgabe 1 (Erarbeitung)
Ergänze die Tabelle zur Verdeutlichung des Zusammenhangs zwischen Randfunktion und zugehörigen Integralfunktionen. Benutze das Applet, um die jeweiligen Integralfunktionen zu ermitteln. Achte darauf, auch den Wert für $a$ richtig einzustellen.
| $f(x)$ | $I_a(x)$ | $I_a'(x)$ |
|---|---|---|
| $f(x) = \frac{1}{10}x^3 - \frac{9}{10}x^2 + \frac{9}{5}x$ | $I_0(x) = \frac{1}{40}x^4 - \frac{3}{10}x^3 + \frac{9}{10}x^2$ | $I_0'(x) = \dots$ |
| $f(x) = 2 - x$ | $I_0(x) = \dots$ | $I_0'(x) = \dots$ |
| $f(x) = 2 - x$ | $I_1(x) = \dots$ | $I_1'(x) = \dots$ |
| $f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + x$ | $I_0(x) = \dots$ | $I_0'(x) = \dots$ |
| $f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + x + 1$ | $I_3(x) = \dots$ | $I_3'(x) = \dots$ |
Den Zusammenhang zwischen Randfunktion und Integralfunktion präzise formulieren
Der Zusammenhang zwischen Randfunktion und zugehörigen Integralfunktionen stellt eine Verbindung zwischen Integrieren (als zentrale Operation der Integralrechnung) und Ableiten bzw. Differenzieren (als zentrale Operation der Differentialrechnung) her. Er bildet den inhaltlichen Kern eines fundamentalen Satzes, der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung genannt wird:
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Betrachte die Ausgangssituation, dass eine Randfunktion $f$ und eine Zahl $a$ aus der Definitionsmenge von $f$ gegeben ist. Wenn die Randfunktion stetig ist (keine Sprungstellen hat), dann gilt:
$I_a'(x) = f(x)$.
Also: Die Ableitung einer Integralfunktion $I_a$ zur Randfunktion $f$ ergibt die ursprüngliche Randfunktion $f$.
Aufgabe 2 (Vertiefung)
Im Hauptsatz wird eine Voraussetzung an die Randfunktion formuliert: Die Randfunktion $f$ muss stetig sein.
Verdeutliche anhand des folgenden Applets:
Wenn die Randfunktion an verschiedenen Stellen nicht stetig ist, dann entstehen dort bei der Integralfunktion
Knickstellen. Die Integralfunktion hat an diesen Stellen dann keine eindeutig bestimmbare Steigung bzw. es existiert an diesen Stellen
keine Ableitung. An solchen Stellen kann daher der oben formulierte Zusammenhang nicht hergestellt werden.
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