Vertiefung – Beweisskizze zum Hauptsatz
Den Hauptsatz verstehen und beweisen
In den vorangehenden Abschnitten wurde der folgende fundamentale Zusammenhang zwischen einer vorgegebenen Randfunktion und den zugehörigen Integralfunktionen hergestellt:
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Betrachte die Ausgangssituation, dass eine Randfunktion $f$ und eine Zahl $a$ aus der Definitionsmenge von $f$ gegegeben ist. Wenn die Randfunktion stetig ist (keine Sprungstellen hat), dann gilt:
$I_a'(x) = f(x)$.
Also: Die Ableitung einer Integralfunktion $I_a$ zur Randfunktion $f$ ergibt die ursprüngliche Randfunktion $f$.
Bisher wurde dieser Zusammenhang nur anhand von Beispielen überprüft und mit Hilfe inhaltlicher und geometrischer Betrachtungen plausibel gemacht.
Ziel dieses Abschnittes ist es, einen Beweis zum Hauptsatz zu skizzieren. Betrachte hierzu das folgende Applet:
Zum Herunterladen: hauptsatzbeweis.ggb
Wir werden die Beweisskizze im Folgenden so strukturieren, dass du zunächst im Applet arbeitest und danach die mathematisch exakte Argumentation nachvollziehst:
1. Schritt:
Blende im Applet die Sekante im oberen Fenster ein.
Bewege die Stelle $x+h$ im unteren Fenster auf die Stelle $x$ zu.
Die Sekantensteigungen nähern sich dann der Ableitung an der Stelle $x$ – also $I_a(x)$ – an.
1. Beweisschritt
Die Ableitung $I_a'$ entsteht dadurch, dass mittlere Änderungsraten für immer kleinere $h$-Werte bestimmt werden. Die mittleren Änderungsraten entsprechen den Steigungen der Sekanten zu den betrachteten Intervallen.
$\begin{array}{ccl} \displaystyle{\frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h}} & \\ \downarrow & h \rightarrow 0 \\ I_a'(x) & \end{array}$
2. Schritt:
Betrachte den Zähler $I_a(x+h) - I_a(x)$ der mittleren Änderungsrate bzw. Sekantensteigung $\displaystyle{\frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h}}$.
Blende den Zähler im oberen und im unteren Fenster ein und variiere das Intervall.
2. Beweisschritt
Der Term $I_a(x+h) - I_a(x)$ beschreibt den Flächenzuwachs der Randfunktion $f$ im Intervall $[x\, ; x+h]$.
3. Schritt:
Der Flächenzuwachs $I_a(x+h) - I_a(x)$ der Randfunktion $f$ im Intervall von $x$ bis $x+h$ kann mit einem Rechteck verdeutlicht werden.
Blende dir das Rechteck im unteren Fenster des Applets ein und variiere das Intervall.
3. Beweisschritt
Das Rechteck zum Flächenzuwachs $I_a(x+h) - I_a(x)$ besitzt eine Höhe, die einem Funktionswert $f(\hat{x})$ an einer Stelle $\hat{x}$ aus dem Intervall von $x$ bis $x+h$ entspricht.
Die Breite entspricht der Schrittweite $h$.
Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt also: $A = f(\hat{x}) \cdot h = I_a(x+h) - I_a(x)$.
Dieses Rechteck wird also so gebildet, dass es denselben orientierten Flächeninhalt wie der Flächenzuwachs $I_a(x+h) - I_a(x)$ zur Randfunktion $f$ besitzt.
Das gilt unter der Voraussetzung, dass die Randfunktion $f$ stetig ist.
4. Schritt:
Blende dir nun $\displaystyle{\frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h}}$ im unteren Fenster ein und variiere das Intervall.
4. Beweisschritt
Wenn der Quotient $\displaystyle{\frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h}}$ gebildet wird, eralten wir die Höhe des Rechtecks bzw. den Funktionswert $f(\hat{x})$, $\hat{x}\in [x\, ; x+h]$.
5. Schritt:
Schiebe nun die Stelle $x+h$ auf die Stelle $x$.
4. Beweisschritt
Für $h \rightarrow 0$ wandert der Punkt zur Stelle $x+h$ auf den Punkt zur Stelle $x$ zu.
Wenn die Randfunktion $f$ stetig ist, dann
nähert sich für $h \rightarrow 0$ auch die Höhe des Rechtecks $\displaystyle{\frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h}}$ immer mehr dem Funktionswert $f(x)$ an.
Also: $\frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h} \xrightarrow[]{h \rightarrow 0} f(x)$
6 . Schritt:
Es gilt also: $I_a'(x) = f(x)$.
$\Box$
