Geometrisch: Das Vertauschen der Integrationsgrenzen führt zu einem Wechsel des Vorzeichens. Das liegt daran, dass für die Bewertung der orientierten Flächeninhalte relevant ist, ob die obere Integrationsgrenze größer oder kleiner als die untere ist, vgl. Unterkapitel Integralfunktion.

Rechnerisch: Angenommen, die Funktion $f$ besitzt eine Stammfunktion $F$: Dann gilt $-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=-(F(a)-F(b))=F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Geometrisch: Ein orientierter Flächeninhalt mit einer Breite vom 0 beträgt 0.

Anschaulich: Das Integral ${\int }_a^{b}f(x)dx$ kann man als die Rekonstruktion eines Bestandes im Zeitraum $[a;b]$ auffassen. Wenn nun aber $a=b$ gilt, dann gibt es keinerlei Bestandsänderung im Intervall.

Rechnerisch: Angenommen, die Funktion $f$ besitzt eine Stammfunktion $F$: Dann gilt $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=F(a)-F(a)=0$.

Geometrisch und anschaulich: Hier wird die Flächenbilanz einfach in zwei Teile aufgeteilt, einmal von $a$ bis $b$ und dann nochmal von $b$ bis $c$. Auf der rechten Seite der Gleichung wird direkt der gesamte Bereich betrachtet. Analog zur aufgeteilten Flächenbilanz wird hier die Bestandsänderung in zwei Bereiche aufgeteilt (linke Seite der Gleichung) oder direkt in einem Schritt betrachtet (rechte Seite).

Rechnerisch: Angenommen, die Funktion $f$ besitzt eine Stammfunktion $F$: Dann gilt $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\underset{b}{\overset{c}{\int }}f(x)dx=\underset{{\int }_a^{b}f(x)dx}{\underbrace{F(b)-F(a)}}+\underset{{\int }_b^{c}f(x)dx}{\underbrace{F(c)-F(b)}}=F(c)-F(a)=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$.

Anschaulich: Wir können uns ein Gefäß mit zwei Zuflüssen und Abflüssen vorstellen. Dabei beschreiben $f$ und $g$ die beiden Zufluss-Abfluss-Raten. Die linke Seite der Gleichung sagt nun aus, dass erst die beiden Zufluss-Abfluss-Raten addiert werden. Dann wird der Bestand rekonstruiert. Im Gegensatz dazu werden auf der rechten Seite für beide Zufluss-Abfluss-Raten getrennt voneinander die Bestandsänderungen berechnet und dann addiert. Das Ergebnis bleibt aber gleich.

Rechnerisch: Angenommen, die Funktionen besitzen Stammfunktionen $F$ und $G$: Dann ist $F+G$ eine Stammfunktion von $f+g$, wie aus der Summenregel der Differentialrechnung folgt. Somit gilt: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)+g(x)dx=\underset{F(b)+G(b)}{\underbrace{(F+G)(b)}}-\underset{F(a)+G(a)}{\underbrace{(F+G)(a)}}=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$.

Geometrisch: Auf der linken Seite der Gleichung wird die Randfunktion mit dem Faktor $c$ in $y$-Richtung gestreckt und im Anschluss die Flächenbilanz berechnet. Sie wird durch die Streckung $c$-fach so groß wie ohne Streckung. Genau das sagt die rechte Seite der Gleichung aus.

Rechnerisch: Angenommen, die Funktion $f$ besitzt eine Stammfunktion $F$: Dann ist $c\cdot F$ eine Stammfunktion von $c\cdot f$, wie aus der Faktorregel der Differentialrechnung folgt. Somit gilt:
$\underset{a}{\overset{b}{\int }}c\cdot f(x)dx=\underset{c\cdot F(b)}{\underbrace{(c\cdot F)(b)}}-\underset{c\cdot F(a)}{\underbrace{(c\cdot F)(a)}}=c\cdot (F(b)-F(a))=c\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.