Zusammenfassung – Integralberechnung mit Stammfunktionen
Bestimmung von Integralfunktionen
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz: HDI) ist jede Integralfunktion $I_a$ zu einer Randfunktion $f$ auch eine Stammfunktion der Randfunktion, da die Integralfunktion abgeleitet die Randfunktion ergibt.
Nach dem Satz über Stammfunktionen unterscheiden sich alle Stammfunktionen zu einer Ausgangsfunktion $f$ nur durch eine additive Konstante $c$.
Die Abbildung verdeutlicht die Zusammenhänge. Präzise formuliert erhalten wir folgenden Satz:
Ist $I_a$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f$ und $F$ eine beliebige Stammfunktion von $f$, so gilt $I_a(x) = F(x) + c$ mit einer reellen Zahl $c$.
Die additive Konstante $c$ lässt sich leicht bestimmen. Da $I_a(a) = 0$ gilt, lässt sich hieraus $0 = F(a) + c$ und daraus $c = -F(a)$ folgern. Der Zusammenhang zwischen einer Integralfunktion $I_a$ und einer beliebigen Stammfunktion $F$ zu einer Randfunktion $f$ lässt sich demnach so darstellen:
Der Zusammenhang wird im folgenden Satz über Integralfunktionen präzisiert:
Ist $I_a$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f$ und $F$ eine beliebige Stammfunktion von $f$, so gilt $I_a(x) = F(x) - F(a)$.
Das Applet verdeutlicht diesen fundamentalen Zusammenanhang am Beispiel:
Zum Herunterladen: integralfunktionalsstammfunktion3.ggb
Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = -\frac{3}{5}x^2+2x$.
Gesucht ist die Integralfunktion $I_1$ zur Randfunktion $f$.
Eine Stammfunktion $F$ zur Funktion $f$ lässt sich direkt angeben: $F(x) = -\frac{1}{5}x^3+x^2$.
Mit $F(1) = -\frac{1}{5}\cdot 1^3+1^2 = \frac{4}{5} = 0.8$ erhalten wir: $I_1(x) = -\frac{1}{5}x^3+x^2 - \frac{4}{5}$.
Bestimmung von Integralen
Aus dem Satz über Integralfunktionen lässt sich direkt ein Verfahren zur Integralberechnung folgern:
Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich das Integral $I_a(b)$ mit der Stammfunktion $F$ folgendermaßen berechnen: $I_a(b) = F(x) - F(b)$.
Das Applet verdeutlicht dies wieder am Beispiel:
Zum Herunterladen: integralfunktionalsstammfunktion4.ggb
Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = -\frac{3}{5}x^2+2x$.
Gesucht ist das Integral $I_1(4)$ zur Randfunktion $f$.
Mit der Stammfunktion $F$ mit $F(x) = -\frac{1}{5}\cdot x^3+x^2$ zur Funktion $f$ erhalten wir:
$I_1(4) = F(4) - F(1) = \left( -\frac{1}{5}\cdot 4^3+4^2 \right) - \left( -\frac{1}{5}\cdot 1^3+1^2 \right) = \frac{16}{5} - \frac{4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$.
Integralschreibweisen
Die bisher erzielten Ergebnisse werden abschließend noch einmal mit anderen Schreibweisen dargestellt. Die hier benutzten Schreibweisen zur Integralberechnung haben sich im Laufe der Zeit etabliert und solltest du daher auch kennen und verwenden können.
Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich das Integral $I_a(b)$ mit der Stammfunktion $F$, wie folgt berechnen: $\underbrace{\int\limits_a^b f(x) dx}_{I_a(b)} = \underbrace{\left[ F(x) \right]_a^b}_{F(b) - F(a)}$.
Das Beispiel verdeutlicht diese neue Schreibweise:
$\int\limits_1^4 \underbrace{\left( -\frac{3}{5}x^2+2x \right)}_{f(x)} dx = \left[ \underbrace{-\frac{1}{5}x^3+x^2}_{F(x)} \right]_1^4 = \left( \underbrace{-\frac{1}{5}4^3+4^2}_{F(b)} \right) - \left( \underbrace{-\frac{1}{5}1^3+1^2}_{F(a)} \right) = 3.2 - 0.8 = 2.4$.
Diese Schreibweisen werden hier im Applet verdeutlicht:
Zum Herunterladen: integralschreibweise1.ggb
