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Zusammenfassung – Integralberechnung mit Stammfunktionen

Bestimmung von Integralfunktionen

Die wesentlichen Erkenntnisse dieses Unterkapitels lassen sich in den folgenden beiden Sätzen zusammenfassen:

Satz 1

Ist Ia eine Integralfunktion zur Randfunktion f und F eine beliebige Stammfunktion von f, so gilt Ia(x)=F(x)+c mit einer reellen Zahl c.

Begründung: Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz: HDI) ist jede Integralfunktion Ia zu einer Randfunktion f auch eine Stammfunktion der Randfunktion, da die Integralfunktion abgeleitet die Randfunktion ergibt. Nach dem Satz über Stammfunktionen unterscheiden sich alle Stammfunktionen zu einer Ausgangsfunktion f nur durch eine additive Konstante c.

Satz 2

Ist Ia eine Integralfunktion zur Randfunktion f und F eine beliebige Stammfunktion von f, so gilt Ia(x)=F(x)F(a).

Begründung: Die additive Konstante c lässt sich leicht bestimmen. Da Ia(a)=0 gilt, lässt sich hieraus 0=F(a)+c und daraus c=F(a) folgern.

Das Applet verdeutlicht diesen fundamentalen Zusammenanhang am Beispiel:

Beispiel

Gegeben ist die Randfunktion f mit f(x)=35x2+2x.

Gesucht ist die Integralfunktion I1 zur Randfunktion f.

Eine Stammfunktion F zur Funktion f lässt sich direkt angeben: F(x)=15x3+x2.

Mit F(1)=1513+12=45=0.8 erhalten wir: I1(x)=15x3+x245.

Zum Herunterladen: integralfunktionalsstammfunktion3.ggb

Unbestimmte Integrale

Der Zusammenhang von oben führt dazu, dass man die Menge aller Stammfunktionen auch als unbestimmtes Integral bezeichnet. Man nutzt dafür auch die Integralschreibweise , aber ohne Integrationsgrenzen:

f(x)dxUnbestimmtes Integral=F(x)Stammfunktion+cIntegrationskonstante

Für ein Integral mit Integrationsgrenzen, also abf(x)dx nutzt man auch den Begriff bestimmtes Integral.

Bestimmung von Integralen

Aus dem Satz über Integralfunktionen lässt sich direkt ein Verfahren zur Integralberechnung folgern:

Ist F eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion f, so lässt sich das Integral Ia(b)=abf(x)dx mit der Stammfunktion F folgendermaßen berechnen: Ia(b)=F(x)F(b).

Das Applet verdeutlicht dies wieder am Beispiel:

Beispiel

Gegeben ist die Randfunktion f mit f(x)=35x2+2x.

Gesucht ist das Integral I1(4) zur Randfunktion f.

Mit der Stammfunktion F mit F(x)=15x3+x2 zur Funktion f erhalten wir:

I1(4)=F(4)F(1)=(1543+42)(1513+12)=16545=125=2.4.

Zum Herunterladen: integralfunktionalsstammfunktion4.ggb

Integralschreibweisen

Die bisher erzielten Ergebnisse werden abschließend noch einmal mit anderen Schreibweisen dargestellt. Die hier benutzten Schreibweisen zur Integralberechnung haben sich im Laufe der Zeit etabliert und solltest du daher auch kennen und verwenden können.

Ist F eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion f, so lässt sich das Integral Ia(b) mit der Stammfunktion F, wie folgt berechnen: abf(x)dxIa(b)=[F(x)]abF(b)F(a).

Das Beispiel verdeutlicht diese neue Schreibweise:

Beispiel

14(35x2+2x)f(x)dx=[15x3+x2F(x)]14=(1543+42F(b))(1513+12F(a))=3.20.8=2.4.

Diese Schreibweisen werden hier im Applet verdeutlicht:

Zum Herunterladen: integralschreibweise1.ggb

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