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Zusammenfassung – Integralberechnung mit Stammfunktionen

Bestimmung von Integralfunktionen

In der folgenen Klickstrecke fassen wir die Ergebnisse des Kapitels noch einmal zusammen und erklären mit Hilfe der beiden Sätze, die darunter noch einmal formuliert sind die Zusammenhänge:

Gruppieren
  1. Zunächst können wir die Ableitung der Integralfunktion "aufleiten" und erhalten die Stammfunktion mit einer additiven Konstanten. (siehe Satz 1)
  2. Statt "aufzuleiten" konnten wir nun Integrieren. (siehe Satz 2)
  3. Ab sofort nutzen wir nur noch den Begriff des Integrierens, da "Aufleiten" kein mathematischer Begriff darstellt.

Klicke auf die einzelnen Schritte zur Veranschaulichung.

Satz 1

Ist $I_a$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f$ und $F$ eine beliebige Stammfunktion von $f$, so gilt $I_a(x) = F(x) + c$ mit einer reellen Zahl $c$.

Satz 1 gilt, da:
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz: HDI) ist jede Integralfunktion $I_a$ zu einer Randfunktion $f$ auch eine Stammfunktion der Randfunktion, da die Integralfunktion abgeleitet die Randfunktion ergibt.
Nach dem Satz über Stammfunktionen unterscheiden sich alle Stammfunktionen zu einer Ausgangsfunktion $f$ nur durch eine additive Konstante $c$.

Satz 2

Ist $I_a$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f$ und $F$ eine beliebige Stammfunktion von $f$, so gilt $I_a(x) = F(x) - F(a)$.

Satz 2 gilt, da:
Die additive Konstante $c$ lässt sich leicht bestimmen. Da $I_a(a) = 0$ gilt, lässt sich hieraus $0 = F(a) + c$ und daraus $c = -F(a)$ folgern.

Das Applet verdeutlicht diesen fundamentalen Zusammenanhang am Beispiel:

Zum Herunterladen: integralfunktionalsstammfunktion3.ggb

Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = -\frac{3}{5}x^2+2x$.

Gesucht ist die Integralfunktion $I_1$ zur Randfunktion $f$.

Eine Stammfunktion $F$ zur Funktion $f$ lässt sich direkt angeben: $F(x) = -\frac{1}{5}x^3+x^2$.

Mit $F(1) = -\frac{1}{5}\cdot 1^3+1^2 = \frac{4}{5} = 0.8$ erhalten wir: $I_1(x) = -\frac{1}{5}x^3+x^2 - \frac{4}{5}$.

Bestimmung von Integralen

Aus dem Satz über Integralfunktionen lässt sich direkt ein Verfahren zur Integralberechnung folgern:

Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich das Integral $I_a(b)$ mit der Stammfunktion $F$ folgendermaßen berechnen: $I_a(b) = F(x) - F(b)$.

Das Applet verdeutlicht dies wieder am Beispiel:

Zum Herunterladen: integralfunktionalsstammfunktion4.ggb

Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = -\frac{3}{5}x^2+2x$.

Gesucht ist das Integral $I_1(4)$ zur Randfunktion $f$.

Mit der Stammfunktion $F$ mit $F(x) = -\frac{1}{5}\cdot x^3+x^2$ zur Funktion $f$ erhalten wir:

$I_1(4) = F(4) - F(1) = \left( -\frac{1}{5}\cdot 4^3+4^2 \right) - \left( -\frac{1}{5}\cdot 1^3+1^2 \right) = \frac{16}{5} - \frac{4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$.

Integralschreibweisen

Die bisher erzielten Ergebnisse werden abschließend noch einmal mit anderen Schreibweisen dargestellt. Die hier benutzten Schreibweisen zur Integralberechnung haben sich im Laufe der Zeit etabliert und solltest du daher auch kennen und verwenden können.

Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich das Integral $I_a(b)$ mit der Stammfunktion $F$, wie folgt berechnen: $\underbrace{\int\limits_a^b f(x) dx}_{I_a(b)} = \underbrace{\left[ F(x) \right]_a^b}_{F(b) - F(a)}$.

Das Beispiel verdeutlicht diese neue Schreibweise:

$\int\limits_1^4 \underbrace{\left( -\frac{3}{5}x^2+2x \right)}_{f(x)} dx = \left[ \underbrace{-\frac{1}{5}x^3+x^2}_{F(x)} \right]_1^4 = \left( \underbrace{-\frac{1}{5}4^3+4^2}_{F(b)} \right) - \left( \underbrace{-\frac{1}{5}1^3+1^2}_{F(a)} \right) = 3.2 - 0.8 = 2.4$.

Diese Schreibweisen werden hier im Applet verdeutlicht:

Zum Herunterladen: integralschreibweise1.ggb

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