Zusammenfassung – Integralberechnung mit Stammfunktionen
Bestimmung von Integralfunktionen
Die wesentlichen Erkenntnisse dieses Unterkapitels lassen sich in den folgenden beiden Sätzen zusammenfassen:
Satz 1
Ist
Begründung: Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz: HDI) ist jede Integralfunktion
Satz 2
Ist
Begründung: Die additive Konstante
Das Applet verdeutlicht diesen fundamentalen Zusammenanhang am Beispiel:
Beispiel
Gegeben ist die Randfunktion
Gesucht ist die Integralfunktion
Eine Stammfunktion
Mit
Zum Herunterladen: integralfunktionalsstammfunktion3.ggb
Unbestimmte Integrale
Der Zusammenhang von oben führt dazu, dass man die Menge aller Stammfunktionen von
Für ein Integral mit Integrationsgrenzen, also
Bestimmung von Integralen
Aus dem Satz über Integralfunktionen lässt sich direkt ein Verfahren zur Integralberechnung folgern:
Ist
Das Applet verdeutlicht dies wieder am Beispiel:
Beispiel
Gegeben ist die Randfunktion
Gesucht ist das Integral
Mit der Stammfunktion
Zum Herunterladen: integralfunktionalsstammfunktion4.ggb
Integrationsregeln
Für die Integration gibt es verschiedene Regeln.
Integrationsgrenzen vertauschen
Begründung
Geometrisch: Das Vertauschen der Integrationsgrenzen führt zu einem Wechsel des Vorzeichens. Das liegt daran, dass für die Bewertung der orientierten Flächeninhalte relevant ist, ob die obere Integrationsgrenze größer oder kleiner als die untere ist, vgl. Unterkapitel Integralfunktion.
Rechnerisch: Angenommen, die Funktion
Gleiche Integrationsgrenzen
Begründung
Geometrisch: Ein orientierter Flächeninhalt mit einer Breite vom 0 beträgt 0.
Anschaulich: Das Integral
Rechnerisch: Angenommen, die Funktion
Intervalladditivität
Begründung
Geometrisch und anschaulich: Hier wird die Flächenbilanz einfach in zwei Teile aufgeteilt, einmal von
Rechnerisch: Angenommen, die Funktion
Summenregel
Begründung
Anschaulich: Wir können uns ein Gefäß mit zwei Zuflüssen und Abflüssen vorstellen. Dabei beschreiben
Rechnerisch: Angenommen, die Funktionen besitzen Stammfunktionen
Faktorregel
Begründung
Geometrisch: Auf der linken Seite der Gleichung wird die Randfunktion mit dem Faktor
Rechnerisch: Angenommen, die Funktion
Integralschreibweisen
Die bisher erzielten Ergebnisse werden abschließend noch einmal mit anderen Schreibweisen dargestellt. Die hier benutzten Schreibweisen zur Integralberechnung haben sich im Laufe der Zeit etabliert und solltest du daher auch kennen und verwenden können.
Ist
Das Beispiel verdeutlicht diese neue Schreibweise:
Beispiel
Diese Schreibweisen werden hier im Applet verdeutlicht:
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