Zusammenfassung – Integralfunktion

Grundidee und Präzisierung

Bei einer vorgegebenen Randfunktion $f$ und einer Zahl $a\in D_f$ lässt sich für jedes $x\in D_f$ (sofern möglich) das Integral über $f$ zum Intervall von $a$ bis $x$ betrachten.
Die Gesamtheit all dieser Integrale lassen sich mit einer neuen Funktion – der Integralfunktion $I_a$ – erfassen.

Im folgenden Applet kannst du $x$ variieren. Das zugeordnete Integral $I_a(x)$ wird zum Einen als orientierter Flächeninhalt zur Randfunktion $f$ verdeutlicht, zum Anderen mit einem Punkt des Graphen der Integralfunktion $G_{I_a}$.

Zum Herunterladen: integralfunktion6.ggb

Betrachten wir die Ausgangssituation, dass eine Randfunktion $f$ und eine Zahl $a$ aus der Definitionsmenge von $f$ gegeben sind, lässt sich die Integralfunktion $I_a$, wie folgt, mathematisch definieren:

Orientierte Flächeninhalte

Beachte auch, dass wir bei Integralfunktionen den Fall zulassen, dass $x$ kleiner als $a$ ist.

Das Applet verdeutlicht, wie sich in diesem Fall das Integral mit Hilfe orientierter Flächeninhalte deuten lässt:

Zum Herunterladen: integralfunktion7.ggb

Betrachte den Fall, dass das gesamte Flächenstück zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $x$ oberhalb oder unterhalb der $x$-Achse liegt.
Bewegt sich der Wert von $a$ aus nach links und umrandet nun weiter das Flächenstück, ergeben sich zwei Fälle:

1. Verläuft die Umrandung entgegen dem Uhrzeigersinn, wird die Fläche positiv gewertet.
2. Verläuft die Umrandung mit dem Uhrzeigersinn, wird die Fläche analog negativ gewertet.

Diese verallgemeinerte Sicht auf orientierte Flächeninhalte lässt sich bei der geometrischen Deutung von Integralfunktionen nutzen.