Zusammenfassung – Integralfunktion
Grundidee und Präzisierung
Bei einer vorgegebenen Randfunktion $f$ und einer Zahl $a\in D_f$ lässt sich für jedes $x\in D_f$ (sofern möglich) das Integral über $f$ zum Intervall von $a$ bis $x$ betrachten.
Die Gesamtheit all dieser Integrale lassen sich mit einer neuen Funktion – der Integralfunktion $I_a$ – erfassen.
Im folgenden Applet kannst du $x$ variieren. Das zugeordnete Integral $I_a(x)$ wird zum Einen als orientierter Flächeninhalt zur Randfunktion $f$ verdeutlicht, zum Anderen mit einem Punkt des Graphen der Integralfunktion $G_{I_a}$.
Zum Herunterladen: integralfunktion6.ggb
Betrachtem wir die Ausgangssituation, dass eine Randfunktion $f$ und eine Zahl $a$ aus der Definitionsmenge von $f$ gegegeben ist, lässt sich die Integralfunktion $I_a$, wie folgt, mathematisch definieren:
Die Integralfunktion $I_a$ ordnet jedem $x$ das Integral über $f$ von $a$ bis $x$ zu – sofern dieses Integral existiert.
Orientierte Flächeninhalte
Beachte auch, dass wir bei Integralfunktionen den Fall zulassen, dass $x$ kleiner als $a$ ist.
Das Applet verdeutlicht, wie sich in diesem Fall das Integral mit Hilfe orientierter Flächeninhalte deuten lässt:
Zum Herunterladen: integralfunktion7.ggb
Betrachte den Fall, dass das gesamte Flächenstück zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $x$ oberhalb oder unterhalb der $x$-Achse liegt.
Bewegt sich der Wert von $a$ aus nach links und umrandet nun weiter das Flächenstück, ergeben sich zwei Fälle:
- Verläuft die Umrandung entgegen dem Uhrzeigersinn, wird die Fläche positiv gewertet.
- Verläuft die Umrandung mit dem Uhrzeigersinn, wird die Fläche analog negativ gewertet.
Diese verallgemeinerte Sicht auf orientierte Flächeninhalte lässt sich bei der geometrischen Deutung von Integralfunktionen nutzen.
