i

Stammfunktionen von Potenzfunktionen

Stammfunktionen bestimmen

Wir betrachten folgende Situation:

Problem

Gegeben ist eine Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^n$, $n\in\mathbb{N}$.

Gesucht ist eine Stammfunktion $F$ von $f$ (d.h. es muss $F' = f$ gelten).

Aufgabe 1 (Erarbeitung) ★

(a) Begründe, warum die im Applet voreingestellte Funktion $F$ noch keine Stammfunktion von $f$ ist.

(b) Ändere die Funktionsgleichung von $F$ so ab, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Kontrolliere anhand der Graphen im unteren Fenster.

Wie funktioniert das Applet?

Im unteren Fenster des Applets kann die Ausgangsfunktion $f$ eingegeben werden. Im oberen Fenster kannst du dann einen Vorschlag für eine Stammfunktion $F$ eingeben. Zusätzlich wird im unteren Fenster zum Graphen der Ausgangsfunktion $f$ der Graph von $F'$ angezeigt. Wenn die beiden Graphen übereinstimmen, ist $F$ tatsächlich eine Stammfunktion von $f$.

Zum Herunterladen: stammfunktionen1.ggb

Aufgabe 2 (Erarbeitung) ★ ★

Trage das Ergebnis aus Aufgabe 1 (b) in der Tabelle ein. Bestimme für die weiteren Potenzfunktionen analog eine Stammfunktion.

Ausgangsfunktion $f$ Stammfunktion $F$
$f(x) = x^0 = 1$ $\dots $
$f(x) = x^1 = x$ $\dots $
$f(x) = x^2$ $\dots $
$f(x) = x^3$ $\dots $
$f(x) = x^4$ $\dots $
$f(x) = x^n$ $\dots $

Aufgabe 3 (Sicherung)

(a) 🖊️ Formuliere aus der letzten Tabellenzeile eine allgemeine Regel:

Wenn $f(x) = x^n$ , $n\in\mathbb{N}$, ist $F(x) = \dots$ .

(b) Vergleiche mit der Potenzregel für der Differentialrechnung.

(c) 🖊️ Notiere dir die Regel im Wissensspeicher in der Box „Potenzregel“ und ergänze das Beispiel.

(d) Weitergedacht: Wir haben diese Regel nur für natürliche Zahlen formuliert. Sie lässt sich jedoch auch auf z.B. $f$ mit $f(x) = x^{-2}$ anwenden. Für welchen Exponenten gilt die Regel aber nicht?

Suche

v
3.2.3.1.1.1
o-mathe.de/integralrechnung/integralableitung/stammfunktionen/erkundung/lernstrecke/potenzfunktionen
o-mathe.de/3.2.3.1.1.1

Rückmeldung geben