Stammfunktionen von Potenzfunktionen
Stammfunktionen bestimmen
Wir betrachten folgende Situation:
Gegeben ist eine Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^n$, $n\in\mathbb{N}$.
Gesucht ist eine Stammfunktion $F$ von $f$ (d.h. es muss $F' = f$ gelten).
Das Applet hilft dir bei der Bestimmung von Stammfunktionen:
Zum Herunterladen: stammfunktionen1.ggb
Wie funktioniert das Applet?
Im unteren Fenster des Applets kann die Ausgangsfunktion $f$ eingegeben werden. Im oberen Fenster kannst du dann einen Vorschlag für eine Stammfunktion $F$ eingeben. Zusätzlich wird im unteren Fenster zum Graphen der Ausgangsfunktion $f$ der Graph von $F'$ angezeigt. Wenn die beiden Graphen übereinstimmen, ist $F$ tatsächlich eine Stammfunktion von $f$.
Aufgabe 1 (Erarbeitung) ★
(a) Begründe, warum die im Applet voreingestellte Funktion $F$ noch keine Stammfunktion von $f$ ist.
(b) Ändere die Funktionsgleichung von $F$ so ab, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Kontrolliere anhand der Graphen im unteren Fenster.
Aufgabe 2 (Erarbeitung) ★ ★
Trage das Ergebnis aus Aufgabe 1 (b) in der Tabelle ein. Bestimme für die weiteren Potenzfunktionen analog eine Stammfunktion.
| Ausgangsfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ |
|---|---|
| $f(x) = x^0 = 1$ | $\dots $ |
| $f(x) = x^1 = x$ | $\dots $ |
| $f(x) = x^2$ | $\dots $ |
| $f(x) = x^3$ | $\dots $ |
| $f(x) = x^4$ | $\dots $ |
| $f(x) = x^n$ | $\dots $ |
Aufgabe 3 (Sicherung)
🖊️ Formuliere eine Regel:
Wenn $f(x) = x^n$ , $n\in\mathbb{N}$, ist $F(x) = \dots$ .
