Stammfunktionen von Potenzfunktionen
Stammfunktionen bestimmen
Wir betrachten folgende Situation:
Problem
Gegeben ist eine Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^n$, $n\in\mathbb{N}$.
Gesucht ist eine Stammfunktion $F$ von $f$ (d.h. es muss $F' = f$ gelten).
Aufgabe 1 (Erarbeitung) ★
(a) Begründe, warum die im Applet voreingestellte Funktion $F$ noch keine Stammfunktion von $f$ ist.
(b) Ändere die Funktionsgleichung von $F$ so ab, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Kontrolliere anhand der Graphen im unteren Fenster.
Wie funktioniert das Applet?
Im unteren Fenster des Applets kann die Ausgangsfunktion $f$ eingegeben werden. Im oberen Fenster kannst du dann einen Vorschlag für eine Stammfunktion $F$ eingeben. Zusätzlich wird im unteren Fenster zum Graphen der Ausgangsfunktion $f$ der Graph von $F'$ angezeigt. Wenn die beiden Graphen übereinstimmen, ist $F$ tatsächlich eine Stammfunktion von $f$.
Zum Herunterladen: stammfunktionen1.ggb
Aufgabe 2 (Erarbeitung) ★ ★
Trage das Ergebnis aus Aufgabe 1 (b) in der Tabelle ein. Bestimme für die weiteren Potenzfunktionen analog eine Stammfunktion.
| Ausgangsfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ |
|---|---|
| $f(x) = x^0 = 1$ | $\dots $ |
| $f(x) = x^1 = x$ | $\dots $ |
| $f(x) = x^2$ | $\dots $ |
| $f(x) = x^3$ | $\dots $ |
| $f(x) = x^4$ | $\dots $ |
| $f(x) = x^n$ | $\dots $ |
Aufgabe 3 (Sicherung)
(a) 🖊️ Formuliere aus der letzten Tabellenzeile eine allgemeine Regel:
(b) Vergleiche mit der Potenzregel für der Differentialrechnung.
(c) 🖊️ Notiere dir die Regel im Wissensspeicher in der Box „Potenzregel“ und ergänze das Beispiel.
(d) Weitergedacht: Wir haben diese Regel nur für natürliche Zahlen formuliert. Sie lässt sich jedoch auch auf z.B. $f$ mit $f(x) = x^{-2}$ anwenden. Für welchen Exponenten gilt die Regel aber nicht?
