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Dynamische Sichtweise (Einstieg)

Von einem bestimmten Integral zu einer Integralfunktion

Zielsetzung

Im Unterkapitel Rekonstruktion eines Bestandes hast du gesehen, dass die Bestandsfunktion $B$ aus einer vorgegebenen Änderungsratenfunktion $B^{'}$ erhalten wird, indem orientierte Flächeninhalte bestimmt werden. Diesen Rekonstruktionsvorgang nannten wir Integrieren.

Im Unterkapitel Grenzwert von Produktsummen haben wir gelernt, dass wir den orientierten Flächeninhalt unter einem Graphen $f$ in einem Intervall $[a; b]$ als Integral $I_{a} (b) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ bezeichnen.

Wir werden nun beide Gedanken miteinander verknüpfen: Wir betrachten eine vorgegebene Randfunktion $f$ (Diese kannst du dir als Änderungsrate vorstellen.) sowie eine vorgegebene Intervallgrenze $a$ und wollen eine zugehörige Integralfunktion rekonstruieren.

Aufgabe 1

Variiere $x$ im Applet unter der Aufgabe, indem du den entsprechenden Punkt auf der $x$ -Achse (unteres Teil-Fenster) hin und her bewegst.

(a) Erkläre, wie der Graph, der im oberen Fenster entsteht, mit den Integralen $I_{a} (b) = \int_{1}^{b} f (x) d x$ zusammenhängt, die wir im vorherigen Unterkapitel betrachtet haben. Erkläre auch den Zusammenhang zur unten eingefärbten Fläche.

(b) Erfinde einen Sachkontext, indem du die beiden Graphen deuten kannst.

Zum Herunterladen: integralfunktion2.ggb

Integralfunktion

Bei Bestimmung aller Integralwerte (bzw. den orientierter Flächeninhalte) für jedes $x \geq a$ aus der Definitionsmenge von $f$ , entsteht durch diese Werte die Integralfunktion $I_{a}$ .

Aufgabe 2

Setze das Applet mit dem Refresh-Button (rechts oben in der Ecke) zurück. Verändere nun $a$ . Gib dazu in das Eingabefeld den Wert $a = 1$ ein und variiere erneut $x$ .

(a) Beschreibe, wie sich der entstehende Graph der Integralfunktion $I_{a}$ beim Variieren von $a$ verändert.

(b) Beschreibe die Bedeutung, die $a$ in einem Sachkontext hat.

Weiteres Vorgehen

Auf den folgenden Seiten werden einfache Randfunktionen betrachtet und die zugehörige Integralfunktion bestimmt.

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