Zusammenfassung – Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Grundidee und Präzisierung
Die Integralfunktion $I_a$ entsteht aus einer vorgegebenen Randfunktion $f$ und einer unteren Grenze $a$ durch Integralberechnungen (d.h. geometrisch mit Hilfe orientierter Flächeninhalte bzw. analytisch mit Hilfe von Grenzwerten von Produktsummen).
Zwischen einer solchen Randfunktion $f$ und den zugehörigen Integralfunktionen $I_a$ gibt es einen fundamentalen Zusammenhang: Wenn man die Integralfunktionen $I_a$ ableitet, dann erhält man die ursprüngliche Randfunktion $f$.
Das Applet verdeutlicht diesen Zusammenhang anhand eines Beispiels.
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Dieser fundamentale Zusammenhang stellt eine Verbindung her zwischen Integrieren (als zentrale Operation der Integralrechnung) und Ableiten bzw. Differenzieren (als zentrale Operation der Differentialrechnung). Er bildet den inhaltlichen Kern des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung:
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Betrachte die Ausgangssituation, dass eine Randfunktion $f$ und eine Zahl $a$ aus der Definitionsmenge von $f$ gegeben sind. Wenn die Randfunktion stetig ist (keine Sprungstellen hat), dann gilt:
$I_a'(x) = f(x)$.
Also: Die Ableitung einer Integralfunktion $I_a$ zur Randfunktion $f$ ergibt die ursprüngliche Randfunktion $f$.
Beachte, dass im Hauptsatz eine Voraussetzung an die Randfunktion formuliert wird: Die Randfunktion $f$ muss stetig sein. Das folgende Beispiel zeigt: Wenn die Randfunktion an verschiedenen Stellen nicht stetig ist, dann entstehen dort bei der Integralfunktion Knickstellen. Die Integralfunktion hat an diesen Stellen dann keine eindeutig bestimmbare Steigung bzw. sie ist an diesen Stellen nicht differenzierbar. An solchen Stellen kann daher der oben formulierte Zusammenhang nicht hergestellt werden.
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