Geometrische Betrachtungen

Flächenentwicklungen betrachten

Wir betrachten folgende Situation:

Das folgende Applet stellt die beiden Funktionen gegenüber.
Den Graphen der Integralfunktion $G_{I_a}$ erhältst du, indem du zuerst $a$ im Eingabefeld vorgibst und dann $x$ variierst.

Zum Herunterladen: integrieren3.ggb

Aufgabe 1 (Erarbeitung)

(a) Trage in der Tabelle die Eigenschaften der Integralfunktion $I_a$ ein. Begründe diese jeweils geometrisch.

Eigenschaft der Randfunktion $f$	hieraus folgt	Eigenschaft der Integralfunktion $I_a$
Graph $f$ verläuft im Intervall $I$ im positiven Bereich. (d.h.: $f(x)>0$ für alle $x\in I$).	$\Rightarrow$	$I_a$ ist im Intervall $I$ streng monoton steigend.
Graph $f$ verläuft im Intervall $I$ im negativen Bereich. (d.h.: $f(x)\text{ < }0$ für alle $x\in I$).	$\Rightarrow$	$\dots$
$f$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von positiven zu negativen Werten.)	$\Rightarrow$	$\dots$
$f$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von negativen zu positiven Werten.)	$\Rightarrow$	$\dots$
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt oder Tiefpunkt.	$\Rightarrow$	$\dots$

(b) Inwiefern bestärkt die Tabelle die Vermutung über den Zusammenhang, dass die Randfunktion $f$ die Ableitungsfunktion der zugehörigen Integralfunktionen ist? Begründe mit Ergebnissen aus der Differentialrechnung.