Integralschreibweisen
Neue Schreibweisen verwenden
In der Integralrechnung werden Schreibweisen genutzt, die sich im Laufe der Zeit etabliert haben. Diese standardisierten Schreibweisen werden hier mit den bisherigen Schreibweisen verknüpft.
Die Integralberechnung mit Hilfe von Stammfunktionen haben wir bisher folgendermaßen beschrieben:
Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich das Integral $I_a(b)$ mit der Stammfunktion $F$, wie folgt berechnen: $I_a(b) = F(b) - F(a)$.
Hier derselbe Zusammenhang mit Integralschreibweisen:
Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich das Integral $I_a(b)$ mit der Stammfunktion $F$ folgendermaßen berechnen: $\underbrace{\int\limits_a^b f(x) dx}_{I_a(b)} = \underbrace{\left[ F(x) \right]_a^b}_{F(b) - F(a)}$.
Das Beispiel verdeutlicht diese neue Schreibweise:
$\int\limits_1^4 \underbrace{\left( -\frac{3}{5}x^2+2x \right)}_{f(x)} dx = \left[ \underbrace{-\frac{1}{5}x^3+x^2}_{F(x)} \right]_1^4 = \left( \underbrace{-\frac{1}{5}4^3+4^2}_{F(b)} \right) - \left( \underbrace{-\frac{1}{5}1^3+1^2}_{F(a)} \right) = 3.2 - 0.8 = 2.4$.
Beachte die unterschiedliche Bedeutung der Klammern: Die eckige Klammer mit den beiden Zahlen an der rechten Klammer steht für eine Differenzbildung. Die runden Klammern werden benutzt, um algebraische Einheiten zu bilden.
Aufgabe 1 (Erarbeitung)
Schreibe die Integralberechnungen zur Tabelle in der neuen Schreibweise auf.
| Randfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ | Integral $I_a(b)$ |
|---|---|---|
| $f(x) = -\frac{3}{5}x^2+2x$ | $F(x) = -\frac{1}{5}x^3+x^2$ | $\begin{array}{ccl} \int\limits_1^4 \left( -\frac{3}{5}x^2+2x \right) dx & = & \left[ -\frac{1}{5}x^3+x^2 \right]_a^b \\ & = & \left( -\frac{1}{5}4^3+4^2 \right) - \left( -\frac{1}{5}1^3+1^2 \right) \\ & = & 3.2 - 0.8 \\ & = & 2.4 \end{array}$ |
| $f(x) = x^2$ | $F(x) = \dots $ | $\int\limits_1^3 \left( x^2 \right) dx = ...$ |
| $f(x) = 2-0.5x$ | $F(x) = \dots $ | $\int\limits_{-1}^2 \left( 2 - 0.5x \right) dx = ...$ |
| $f(x) = -\frac{1}{3}x^3+2x$ | $F(x) = \dots $ | $\int\limits_{-1}^1 \left( -\frac{1}{3}x^3+2x \right) dx = ...$ |
| $f(x) = x^4$ | $F(x) = \dots $ | $\int\limits_0^1 \left( x^4 \right) dx = \dots $ |
Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet:
Zum Herunterladen: integralschreibweise1.ggb
