Erarbeitung
Zur Orientierung
Hier geht es um diese Fragestellung:
Leitfrage
Wie kann man die Ableitung
Zur Klärung dieser Frage werden wir den Steigungsbegriff, der zunächst für Geraden eingeführt wurde, verallgemeinern.
Die Steigung eines Funktionsgraphen untersuchen
Wenn ein Funktionsgraph – wie im folgenden Applet – gekrümmt ist, dann ist zunächst nicht klar, was man unter der Steigung eines Graphen verstehen soll. Zur Klärung untersuchen wir einen gekrümmten Funktionsgraphen mit einem Funktionenmikroskop
. Das Applet bietet hierfür eine Möglichkeit, um schrittweise eine Ausschnittsvergrößerung des Funktionsgraphen um einen festen Punkt
Anleitung für das Applet
- Im oberen Fenster kann man die betrachtete Funktion durch Eingabe des Funktionsterms festlegen.
- Den Punkt
kann man auf dem Funktionsgraph hin und her bewegen. - Die blau dargestellte Strecke dient hier zur Verdeutlichung der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt
. - Mit den Schaltfächen [+], [-] und [o] kann man den Graph (um den Punkt
) vergrößern, verkleinern sowie die Ausgangslage wieder herstellen. Man kann das Applet also wie ein Funktionenmikroskop verwenden. - Beachte, dass GeoGebra nur eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen anzeigt. Wenn man sehr oft mit [+] vergrößert, erhät man die Situation, dass
und scheinbar dieselben Koordinaten haben, obwohl sie offensichtlich nicht übereinstimmen.
Zum Herunterladen: funktionenmikroskop2.ggb
Aufgabe 1
Verdeutliche mit Hilfe des Applets das folgende interessante Phänomen. Verwende die Schaltflächen, um den Funktionsgraphen im Punkt
Beobachtung:
Wenn man den gekrümmten Graph im vorgegebenen Beispiel stark vergrößert, dann zeigt sich die Krümmung des Graphen immer weniger. Bei sehr starker Vergrößerung ist der Graph lokal um
Die Steigung eines Funktionsgraphen bestimmen
Die lokale Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt
Anleitung für das Applet
- Im oberen Fenster kann man die betrachtete Funktion durch Eingabe des Funktionsterms festlegen.
- Den Punkt
kann man auf dem Funktionsgraph hin und her bewegen. - Die blau dargestellte Strecke dient zur Verdeutlichung der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt
. Die grün dargestellte Gerade ist die Sekante durch und . - Mit den Schaltfächen [+], [-] und [o] kann man den Graph (um den Punkt
) vergrößern, verkleinern sowie die Ausgangslage wieder herstellen. Beachte, dass Punkt mit einer Vergrößerung näher an Punkt heranrückt. - Beachte, dass GeoGebra ggf. gerundete Koordinaten anzeigt. Das kann dazu führen, dass die
-Koordinate eines Punktes nicht genau dem -Wert entspricht.
Zum Herunterladen: funktionenmikroskop4.ggb
Aufgabe 2
Verwende die Schaltflächen, um den Funktionsgraphen im Punkt
Beobachtung:
Wenn der Punkt
Aufgabe 3
Bestimme mit Hilfe des Applets die Steigung von Graph
Den Zusammenhang zur Ableitung herstellen
Wir nutzen die oben gemachten Beobachtungen, um die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt festzulegen.
Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt
Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt
Wir nutzen also denselben Grenzprozess, um die Ableitung einer Funktion an einer Stelle und die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt zu bestimmen.
Grenzprozess | inhaltliche Deutung | geometrische Deutung |
---|---|---|
| | |
Aufgabe 4
Ergänze abschließend den folgenden Satz über die geometrische Deutung der Ableitung.
Geometrische Deutung der Ableitung
Die Ableitung