Erarbeitung
Zur Orientierung
Hier geht es um diese Fragestellung:
Leitfrage
Wie kann man die Ableitung $f'(x_0)$ einer Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ geometrisch deuten?
Zur Klärung dieser Frage werden wir den Steigungsbegriff, der zunächst für Geraden eingeführt wurde, verallgemeinern.
Die Steigung eines Funktionsgraphen untersuchen
Wenn ein Funktionsgraph – wie im folgenden Applet – gekrümmt ist, dann ist zunächst nicht klar, was man unter der Steigung eines Graphen verstehen soll.
Zur Klärung untersuchen wir einen gekrümmten Funktionsgraphen mit einem Funktionenmikroskop
.
Das Applet bietet hierfür eine Möglichkeit, um schrittweise eine Ausschnittsvergrößerung des Funktionsgraphen um einen festen Punkt $P$ anzufertigen.
Anleitung für das Applet
- Im oberen Fenster kann man die betrachtete Funktion durch Eingabe des Funktionsterms festlegen.
- Den Punkt $P$ kann man auf dem Funktionsgraph hin und her bewegen.
- Die blau dargestellte Strecke dient hier zur Verdeutlichung der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt $P$.
- Mit den Schaltfächen [+], [-] und [o] kann man den Graph (um den Punkt $P$) vergrößern, verkleinern sowie die Ausgangslage wieder herstellen. Man kann das Applet also wie ein Funktionenmikroskop verwenden.
- Beachte, dass GeoGebra nur eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen anzeigt. Wenn man sehr oft mit [+] vergrößert, erhät man die Situation, dass $P$ und $Q$ scheinbar dieselben Koordinaten haben, obwohl sie offensichtlich nicht übereinstimmen.
Zum Herunterladen: funktionenmikroskop2.ggb
Aufgabe 1
Verdeutliche mit Hilfe des Applets das folgende interessante Phänomen. Verwende die Schaltflächen, um den Funktionsgraphen im Punkt $P$ immer mehr zu vergrößern. Untersuche auf diese Weise verschiedene Punkte des Funktionsgraphen.
Beobachtung:
Wenn man den gekrümmten Graph im vorgegebenen Beispiel stark vergrößert, dann zeigt sich die Krümmung des Graphen immer weniger. Bei sehr starker Vergrößerung ist der Graph lokal um $P$ fast gerade und es macht daher Sinn, von der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt $P$ zu sprechen.
Die Steigung eines Funktionsgraphen bestimmen
Die lokale Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt $P$ kann man mit Hilfe der Ableitung bestimmen. Das folgende Applet verdeutlicht, wie man die Steigung mit Hilfe des Annäherungsverfahrens erhält, das man zur Bestimmung von Ableitungen verwendet.
Anleitung für das Applet
- Im oberen Fenster kann man die betrachtete Funktion durch Eingabe des Funktionsterms festlegen.
- Den Punkt $P$ kann man auf dem Funktionsgraph hin und her bewegen.
- Die blau dargestellte Strecke dient zur Verdeutlichung der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt $P$. Die grün dargestellte Gerade ist die Sekante durch $P$ und $Q$.
- Mit den Schaltfächen [+], [-] und [o] kann man den Graph (um den Punkt $P$) vergrößern, verkleinern sowie die Ausgangslage wieder herstellen. Beachte, dass Punkt $Q$ mit einer Vergrößerung näher an Punkt $P$ heranrückt.
- Beachte, dass GeoGebra ggf. gerundete Koordinaten anzeigt. Das kann dazu führen, dass die $y$-Koordinate eines Punktes nicht genau dem $f(x)$-Wert entspricht.
Zum Herunterladen: funktionenmikroskop4.ggb
Aufgabe 2
Verwende die Schaltflächen, um den Funktionsgraphen im Punkt $P$ immer mehr zu vergrößern. Beachte, dass der Punkt $Q$ beim Vergrößern immer näher an den Punkt $P$ heranrückt. Erläutere mit Hilfe des Applets so folgenden Zusammenhang.
Beobachtung:
Wenn der Punkt $Q$ immer näher an den Punkt $P$ heranrückt, dann nähert sich die Steigung der Sekante durch $P$ und $Q$ immer mehr der Steigung des Graphen im Punkt $P$ an.
Aufgabe 3
Bestimme mit Hilfe des Applets die Steigung von Graph $f$ für die im Applet vorgegebene Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ in den Punkten $(1|1)$ und $(-2|4)$.
Den Zusammenhang zur Ableitung herstellen
Wir nutzen die oben gemachten Beobachtungen, um die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt festzulegen.
Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt
Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt $P$ des Funktionsgraphen erhält man als Grenzwert von Sekantensteigungen, wenn der Punkt $Q$, der zusammen mit Punkt $P$ die Sekante festlegt, sich immer mehr dem Punkt $P$ nähert.
Wir nutzen also denselben Grenzprozess, um die Ableitung einer Funktion an einer Stelle und die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt zu bestimmen.
| Grenzprozess | inhaltliche Deutung | geometrische Deutung |
|---|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & & \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \\ f'(x_0) & & \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} \\ \downarrow & \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & \\ \text{lokale Änderungsrate} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{Steigung der Sekante durch P und Q} \\ \downarrow & Q \rightarrow P & \\ \text{Steigung des Graphen im Punkt P} \end{array}$ |
Aufgabe 4
Ergänze abschließend den folgenden Satz über die geometrische Deutung der Ableitung.
Geometrische Deutung der Ableitung
Die Ableitung $f'(x_0)$ beschreibt geometrisch ... .
