Vertiefung

Zur Orientierung

Im letzten Absatz wurden das Stetigkeits- und das Differenzierbarkeitskonzept eingeführt, um Funktionen zu charakterisieren.

Differenzierbarkeit an Sprungstellen untersuchen

Betrachte noch einmal den Graph der Funktion im folgenden Applet.

Zum Herunterladen: entwurf1b.ggb

Aufgabe 1

Erkläre anhand des Applets, dass man für die Sprungstelle $x_0 = 1$ folgende Ergebnisse erhält:

• Für $h \rightarrow 0$ mit positiven $h$-Werten erhält man $m(x_0, x_0+h) \rightarrow \infty$.
• Für $h \rightarrow 0$ mit negativen $h$-Werten erhält man $m(x_0, x_0+h) \rightarrow 0.5$.
• Es gibt daher keinen Grenzwert für die mittleren Änderungsraten beim Grenzprozess $h \rightarrow 0$. Die Funktion $f$ ist somit an der Stelle $x_0$ nicht differenzierbar.

Stetigkeit an differenzierbaren Stellen untersuchen

Betrachte den Graph der Funktion im folgenden Applet.

Zum Herunterladen: entwurf3.ggb

Der Schieberegler $a$ ist hier so eingestellt, dass die Funktion $f$ an der Stelle $x_0 = 1$ differenzierbar ist. Die folgende Übersicht verdeutlicht dieses Verhalten.

$\begin{array}{lcl} m(x_0, x_0+h) & = & \quad\enspace\, \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & &\\ \qquad f'(x_0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}} \end{array}$

Aufgabe 2

(a) Begründe: Für kleine $h$-Werte gilt hier $f(x_0+h) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot h$.

(b) Folgere hieraus, dass folgender Zusammenhang gilt. Berücksichtige, dass $f'(x_0)$ eine feste Zahl ist.

$\begin{array}{ccl} f(x_0+h) & \approx & f(x_0) + f'(x_0) \cdot h\\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & & \\ f(x_0) \end{array}$

Den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit präzisieren

Aufgabe 3

Erläutere, dass die oben informell durchgeführten Überlegungen zu folgendem Satz führen. Wir verzichten hier auf einen formalen Beweis.