Vertiefung

Zur Orientierung

Im letzten Absatz wurden das Stetigkeits- und das Differenzierbarkeitskonzept eingeführt, um Funktionen zu charakterisieren.

Differenzierbarkeit an Sprungstellen untersuchen

Betrachte noch einmal den Graph der Funktion im folgenden Applet.

Zum Herunterladen: entwurf1b.ggb

Aufgabe 1

Erkläre anhand des Applets, dass man für die Sprungstelle $x_0=1$ folgende Ergebnisse erhält:

• Für $h\to 0$ mit positiven $h$-Werten erhält man $m(x_0,x_0+h)\to \mathrm{\infty }$.
• Für $h\to 0$ mit negativen $h$-Werten erhält man $m(x_0,x_0+h)\to 0.5$.
• Es gibt daher keinen Grenzwert für die mittleren Änderungsraten beim Grenzprozess $h\to 0$. Die Funktion $f$ ist somit an der Stelle $x_0$ nicht differenzierbar.

Stetigkeit an differenzierbaren Stellen untersuchen

Betrachte den Graph der Funktion im folgenden Applet.

Zum Herunterladen: entwurf3.ggb

Der Schieberegler $a$ ist hier so eingestellt, dass die Funktion $f$ an der Stelle $x_0=1$ differenzierbar ist. Die folgende Übersicht verdeutlicht dieses Verhalten.

$\begin{array}{lcl}m(x_0,x_0+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\ \downarrow h\to 0& & \\ f^{\prime }(x_0)& =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\end{array}$

Aufgabe 2

(a) Begründe: Für kleine $h$-Werte gilt hier $f(x_0+h)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot h$.

(b) Folgere hieraus, dass folgender Zusammenhang gilt. Berücksichtige, dass $f^{\prime }(x_0)$ eine feste Zahl ist.

$\begin{array}{ccl}f(x_0+h)& \approx & f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot h\\ \downarrow h\to 0& & \\ f(x_0)\end{array}$

Den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit präzisieren

Aufgabe 3

Erläutere, dass die oben informell durchgeführten Überlegungen zu folgendem Satz führen. Wir verzichten hier auf einen formalen Beweis.