Ableitung und Steigung in einem Punkt

Aufgabe 1

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-2x^2$.

Zum Herunterladen: ableitung4.ggb

(a) Welche Ableitungswerte sind plausibel, welche eher nicht? Begründe mit Hilfe des Funktionsgraphen.

• $f^{\prime }(0)=0$
• $f^{\prime }(0.5)=1$
• $f^{\prime }(1)=-1$
• $f^{\prime }(-1)=-1$
• $f^{\prime }(1.5)=8$
• $f^{\prime }(-0.5)=1$

(b) Schätze die Ableitungen jeweils mit Hilfe der mittleren Änderungsrate zu einem kleinen $h$-Wert ab. Dokumentiere die Rechnungen (so wie angedeutet). Überprüfe die Ergebnisse im Applet.

• ges.: $f^{\prime }(-1)$
  Für $h=0.01$ erhält man $m(-1,-1+0.01)={\displaystyle \frac{f(-0.99)-f(-1)}{0.01}\approx ...}$. Also $f^{\prime }(-1)\approx ...$.
• ges.: $f^{\prime }(-0.5)$
• ges.: $f^{\prime }(0)$
• ges.: $f^{\prime }(0.5)$
• ges.: $f^{\prime }(1)$
• ges.: $f^{\prime }(1.5)$

Aufgabe 2

Hier kannst du in den Graph reinzoomen und ihn bei Bedarf verschieben, um die Steigung eines Graphen in einem Punkt zu bestimmen.

Zum Herunterladen: steigung_eines_graphen.ggb

(a) Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ und den Punkt $P(1|1)$. Ermittle mit Hilfe des Applets experimentell die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P$.

(b) Betrachte weiterhin die Funktion $f$ mit $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Variiere den Punkt $P$ (mindestens 4-mal) und ermittle jeweils die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P$. Dokumentiere die Ergebnisse.