Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir lösen uns hier vom Tunnelbau und verfolgenden diese Zielsetzung.

Stetigkeit einer Funktion fordern

Der Graph der Funktion im folgenden Applet weist Sprünge auf. Solche Sprungstellen will man oft vermeiden. Zur Formulierung einer Bedingung benötigt man eine adäquates Beschreibung eines nicht-sprunghaften Verhaltens. Hierfür verwendet man in der Mathematik den Stetigkeitsbegriff. Wir werden diesen Begriff hier kurz thematisieren. Eine weitergehende Behandlung erfolgt in einem weiteren Kapitel.

Zum Herunterladen: entwurf1.ggb

Aufgabe 1

(a) Verdeutliche mit Hilfe des Applets, dass folgendes Verhalten erwünscht ist.

$\begin{array}{cc}f(x_0+h)& \\ \downarrow & h\to 0& \\ f(x_0)\end{array}$

(b) Erläutere, dass man das gewünschte Verhalten mit dem Stetigkeitsbegriff beschreiben kann.

Differenzierbarkeit einer Funktion fordern

Der Graph der Funktion im folgenden Applet weist Knicke auf. Solche Knickstellen will man ebenfalls oft vermeiden. In den letzten Abschnitten wurde der Differenzierbarkeitsbegriff eingeführt. Diesen Begriff kann man hierfür verwenden.

Zum Herunterladen: entwurf2.ggb

Aufgabe 1

(a) Verdeutliche mit Hilfe des Applets, dass folgendes Verhalten erwünscht ist.

$\begin{array}{ccl}m(x_0,x_0+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\ \downarrow & h\to 0& \\ f^{\prime }(x_0)& =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\end{array}$

(b) Erläutere, dass man das gewünschte Verhalten mit dem Differenzierbarkeitsbegriff beschreiben kann.