Zusammenfassung - Differenzierbarkeit

Das Problem

Die Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ wurde im Kapitel Ableitung an einer Stelle als Grenzwert von mittleren Änderungsraten eingeführt. Geometrisch kann man sie als Steigung des Graphen im Punkt $P(x_0|f(x_0))$ deuten. Diese Steigung erhält man geometrisch als Grenzwert von Sekantensteigungen.

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Diese Festlegung der Ableitung setzt voraus, dass der Grenzprozess auch tatsächlich zu einem Grenzwert führt. Wir betrachten hier Fälle, in denen dieser Grenzprozess zu Schwierigkeiten führt.

Eine Funktion mit einem Knick im Graphen untersuchen

Das folgende Applet zeigt eine Funktion mit einem Knick im Funktionsgraphen. Genau dieser Knickpunkt soll jetzt genauer untersucht werden.

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Für die Knickstelle $x_0=1$ erhält man folgende Ergebnisse:

• Für $h\to 0$ mit positiven $h$-Werten erhält man $m(x_0,x_0+h)\to 1$.
• Für $h\to 0$ mit negativen $h$-Werten erhält man $m(x_0,x_0+h)\to 2$.
• Es gibt demnach keinen eindeutigen Grenzwert für die mittleren Änderungsraten beim Grenzprozess $h\to 0$. Geometrisch zeigt sich das darin, dass man dem Punkt $P$ keine eindeutige Steigung zuordnen kann.

Eine Funktion mit einem Sprung im Graphen untersuchen

Das folgende Applet zeigt eine Funktion mit einem Sprung im Funktionsgraphen. Dieser Sprungpunkt soll jetzt genauer untersucht werden.

Zum Herunterladen: ableitung2b.ggb

Für die Sprungstelle $x_0=1$ erhält man folgende Ergebnisse:

• Für $h\to 0$ mit positiven $h$-Werten erhält man $m(x_0,x_0+h)\to \mathrm{\infty }$.
• Für $h\to 0$ mit negativen $h$-Werten erhält man $m(x_0,x_0+h)\to 0$.
• Auch hier gibt es keinen Grenzwert für die mittleren Änderungsraten beim Grenzprozess $h\to 0$. Dem Punkt $P$ kann man keine eindeutige Steigung zuordnen.

Einen neuen Begriff einführen

Ein Knick oder ein Sprung im Funktionsgraph führt dazu, dass man die Steigung der Funktion in solchen Punkten bzw. die Ableitung an der entsprechenden Stelle nicht festlegen kann. Es gibt weitere solche problematische Situationen, die wir hier aber nicht betrachten werden.

Um solche problematischen Stellen auszuschließen, führt man einen Fachbegriff ein.

Die Existenz eines Grenzwerts bedeutet, dass die Sekantensteigungen für beliebige Annäherungen $h\to 0$ immer zu demselben Wert führen. Ein Knick oder ein Sprung im Funktionsgraphen gehört also immer zu einer Stelle, an der die Funktion nicht differenzierbar ist.

Beachte: Nur wenn die Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar ist, kann man die Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ bilden:

$\begin{array}{lcl}m(x_0,x_0+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\ \downarrow h\to 0& & \\ f^{\prime }(x_0)& =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\end{array}$

Differenzierbarkeit an einer Stelle ist also immer die Grundvoraussetzung dafür, die Ableitung an dieser Stelle zu bilden.